Häufungspunkte metrischer Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei
A:=[-1,0[ [mm] \cup [/mm] {x [mm] \in [/mm] ]0,1]|x [mm] \in \IQ [/mm] }.
Bestimmen Sie die Häufungspunkte und die isolierten Punkte in A. |
Hallo Leute,
wie schon der Betreff verrät, habe ich Probleme die Aufgabe zu verstehen.
Also ich weiß was Häufungspunkte und isolierte Punkte sind und auch wie man vorgeht um diese Punkte zu beweisen (Hatten wir sehr schön im Tutorium erklärt bekommen.)
Allerdings kann ich nix mit A anfangen.
Warum steht da x [mm] \in [/mm] ]0,1]?? Was ist mit dem Intervall [-1,0[?? Ist da ein anderes x drin, also z.b aus [mm] \IR [/mm] oder gar keins? Muss ich was beachten weil x [mm] \in \IQ [/mm] ist?
Brauche dringend ne Übersetzung!
Kann es mir jemand erklären?
Silfide
|
|
| |
|
Hallo silfide,
die leichten Fragen zuerst:
> Warum steht da x [mm]\in[/mm] ]0,1]
Weil der Aufgabensteller sich eben dieses Intervall vorgestellt hat 
Schreiben wir den Spaß doch nochmal in schön (mit Formeleditor!) hin:
$[-1,0[ [mm] \;\cup\; \left\{x\in\IQ\,|\, x\in ]0,1]\;\right\}$
[/mm]
Oder in Worten:
Das ist die Menge aller reellen Zahlen aus [-1,0[ vereinigt mit allen rationalen Zahlen aus ]0,1]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
Danke... muss ich da jetzt was beachten, außer das ich schreibe sei x [mm] \in \IR [/mm] bzw. sei x [mm] \in \IQ??
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
Danke... muss ich da jetzt was beachten, außer das ich schreibe sei x $ [mm] \in \IR [/mm] $ bzw. sei x $ [mm] \in \IQ?? [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Sa 10.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist $A=[-1,0[ [mm] \cup [/mm] (]0,1] [mm] \cap \IQ)$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hilft mir das?? Gute Frage, bin gerade selber nicht sicher.
Dachte mir, ich fang erstmal an mit dem Intervall [-1,0[.
Aber ich stehe auf dem Schlau - dachte ich hätte es verstanden - aber irgendwie sind einfach Lücken da, die ich nicht ohne Erklärung, Anleitung schließen kann...
Meine Suche nach Beispielen im Internet war leider nicht von Erfolg gekrönt.
Ich hatte jetzt versuch bei Fall 1 x=0 anzufangen und y zu definieren... aber ich weiß schon nicht, wie ich mit min(r,1) rechne.
Damit du verstehst was ich meine, schreibe ich dir mal das Vorgehen im Tutorium hin.
Aufgabenstellung:
Bestimme Häufungspunkte und isolierte Punkte von
[mm] A:=(0)\cup [/mm] ]1,2]
Zu zeigen: a) die Menge der Häufungspunkte: [1,2]
b) Die Menge der isolierten Punkte (0)
Beweis: Sei x [mm] \in [/mm] [1,2], r>0
1. Fall x=1:
x=1 [mm] \not= [/mm] 1+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] min(r,1)=: y [mm] \in [/mm] (A \ (x) [mm] \cap U_{r}(x))
[/mm]
da 1<y = 1+ [mm] \bruch{1}{2 }min(r,1) \le 1+\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}, [/mm] also y [mm] \in [/mm] A \ (x)
|x-y|=|x-(1+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] min(r,1) [mm] \le \bruch{1}{2}, [/mm] also y [mm] \in U_{r}(x)
[/mm]
Also (A \ (x) [mm] \cap U_{r}(x))\not=\emptyset
[/mm]
Dann kommt noch Fall 2: 1<x<2
Dann wird noch gezeigt, dass es keine anderen Häufungspunkte gibt.
Und zum Schluss gefolgert, das (0) isolierter Punkt ist.
Ich kapiere aber jetzt gar nicht mehr, was wieso gemacht wurde.
Also diese min(r,1) verstehe ich, das ist ja der Abstand, den man haben kann, wenn x=1 ist...
Aber wie rechne ich damit und wie schätze ich ab ...
Ist jetzt ein bissle lange geworden, hoffe trotzdem auf Antwort.
Silfide
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 So 11.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Silfide!
> Hilft mir das?? Gute Frage, bin gerade selber nicht
> sicher.
Worauf Fred hinauswill, ist, dass die Menge die aus zwei disjunkten Teilen besteht, einem Intervall reeller Zahlen und einem Intervall rationaler Zahlen. Die kannst du getrennt betrachten.
> Dachte mir, ich fang erstmal an mit dem Intervall [-1,0[.
ok.
> Aber ich stehe auf dem Schlau - dachte ich hätte es
> verstanden - aber irgendwie sind einfach Lücken da, die
> ich nicht ohne Erklärung, Anleitung schließen kann...
>
> Meine Suche nach Beispielen im Internet war leider nicht
> von Erfolg gekrönt.
>
> Ich hatte jetzt versuch bei Fall 1 x=0 anzufangen und y zu
> definieren... aber ich weiß schon nicht, wie ich mit
> min(r,1) rechne.
>
> Damit du verstehst was ich meine, schreibe ich dir mal das
> Vorgehen im Tutorium hin.
>
> Aufgabenstellung:
>
> Bestimme Häufungspunkte und isolierte Punkte von
> [mm]A:=(0)\cup[/mm] ]1,2]
>
> Zu zeigen: a) die Menge der Häufungspunkte: [1,2]
> b) Die Menge der isolierten Punkte (0)
>
> Beweis: Sei x [mm]\in[/mm] [1,2], r>0
>
> 1. Fall x=1:
> x=1 [mm]\not=[/mm] 1+ [mm]\bruch{1}{2}[/mm] min(r,1)=: y [mm]\in[/mm] (A \ (x) [mm]\cap U_{r}(x))[/mm]
>
> da 1<y = 1+ [mm]\bruch{1}{2 }min(r,1) \le 1+\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2},[/mm] also y [mm]\in[/mm] A \ (x)
>
> |x-y|=|x-(1+ [mm]\bruch{1}{2}[/mm] min(r,1) [mm]\le \bruch{1}{2},[/mm] also y
> [mm]\in U_{r}(x)[/mm]
>
> Also (A \ (x) [mm]\cap U_{r}(x))\not=\emptyset[/mm]
>
> Dann kommt noch Fall 2: 1<x<2
> Dann wird noch gezeigt, dass es keine anderen
> Häufungspunkte gibt.
> Und zum Schluss gefolgert, das (0) isolierter Punkt ist.
>
> Ich kapiere aber jetzt gar nicht mehr, was wieso gemacht
> wurde.
>
> Also diese min(r,1) verstehe ich, das ist ja der Abstand,
> den man haben kann, wenn x=1 ist...
>
>
> Aber wie rechne ich damit und wie schätze ich ab ...
Es geht immer auf die Definition eines Häufungspunktes zurück: ein Punkt x ist ein Häufungspunkt, wenn in jeder Umgebung von x mindestens ein weiterer Punkt liegt. Oben wird eine offene Umgebung [mm] $U_r(x)$ [/mm] betrachtet und nachgewiesen, dass für jedes noch so kleine r ein Punkt [mm] $y\in( ]1,2]\setminus\{x\})$ [/mm] in [mm] $U_r(x)$ [/mm] liegt.
[mm] $\min(r,1)$ [/mm] dient nur dazu, den uninteressanten Fall $r>1$ abzuhandeln: wenn $r>1$ ist, dann liegt das gesamte Interval $]1,2]$ in [mm] $U_r(x)$. [/mm] Damit ist die Voraussetzung, dass mindestens ein weiterer Punkt in [mm] $U_r(x)$ [/mm] liegt, erfüllt.
Diese Argumentation kannst du eins-zu-eins auf das Interval $[-1,0[$ übertragen. Der interessante Teil ist das Intervall [mm] $]0,1]\cap \IQ$, [/mm] das nur rationale Zahlen enthält. Funktioniert die Argumentation da auch?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 So 11.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Rainer,
danke für deine Erläuterung. Komme erst Dienstag zum Überdenken des Ganzen und melde mich dann nochmal (bei Fragen).
Silfide
|
|
|
|
