Halbgruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:00 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Eine Menge a [mm] \not= \emptyset [/mm] mit einer assioziativen Verknüpfuzng heißt
Halbgruppe Zeigen Sie :
a ) Eine Halbgruppe (A,o) ist genau dann eine Gruppe , wenn es zu jedem a [mm] \in [/mm] A un zu jedem b [mm] \in [/mm] A Elemente x,y [mm] \in [/mm] A gibt mit
a o x = b und y o a = b |
hallo ,
also ich hab die Aufgabe angefangen und möchte gerne wissen ob mein Weg richtig ist , so dass ich sicher mit dieser art und weise fortfahren kann
In der Aufgabe ist ja ein " genau dann wenn " zu lesen , ich habe also eine Äquivalenz u zeigen also beidee richtungen richtig ?
Richtung 1 :
Halbgruppe (A,o) iist Gruppe [mm] \Rightarrow \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] x,y :
a o x = b [mm] \wedge [/mm] y o a = b
also :
Halbgruppe (A,o) iist Gruppe
[mm] \Rightarrow [/mm] zusätzlich zur assoziativität existieren neutrales
und inverses Element :
[mm] \Rightarrow [/mm] e o b = b
[mm] \Rightarrow [/mm] (a o a´) o b = b
[mm] \Rightarrow [/mm] a o (a´o b) = b
definiere (a´o b) = x [mm] \Rightarrow [/mm] a o x = b
b o e = b
[mm] \Rightarrow [/mm] b o (a´o a ) = b
[mm] \Rightarrow [/mm] ( b o a´) o a = b
definiere ( b o a´) = y
[mm] \Rightarrow [/mm] y o a = b
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Halbgruppe (A,o) iist Gruppe [mm] \Rightarrow \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] x,y :
a o x = b [mm] \wedge [/mm] y o a = b
qed.
aber ich hab jetzt x = (a´o b)
und y = ( b o a´)
also :
Entweder ich bin mit meinem Weg auf dem Holzweg ,
oder x = y
oder :
eine Gruppe bei der gilt :
forall a,b [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] x,y :
a o x = b [mm] \wedge [/mm] y o a = b
ist nicht kommutativ
ich wäre für eine Antwort sehr sehr sehr dankbar.
Nun die andere richtung :
[mm] \forall [/mm] a,b A x,y :
a o x = b y o a = b Halbgruppe (A,o) iist Gruppe
muss ich ja zeigen das aus :
[mm] \forall [/mm] a,b A x,y :
a o x = b y o a = b
folgt , dass neutrales und inverses Element existiert:
denn das sind ja noch die fehlenden Bedingungen
die Assoziiativität ist ja bei der Halbgruppe gegeben
als ist quasi zu zeigen :
a o x = b [mm] \wedge [/mm] y o a = b
[mm] \Rightarrow [/mm] neutrales und inverses element existiert.
Ich bräuchte da etwas Hilfe
Vielen Dank
lg Thomas
lg
Thomas
|
|
| |
|
> Eine Menge a [mm]\not= \emptyset[/mm] mit einer assioziativen
> Verknüpfuzng heißt
> Halbgruppe Zeigen Sie :
>
> a ) Eine Halbgruppe (A,o) ist genau dann eine Gruppe ,
> wenn es zu jedem a [mm]\in[/mm] A un zu jedem b [mm]\in[/mm] A Elemente x,y
> [mm]\in[/mm] A gibt mit
>
> a o x = b und y o a = b
> hallo ,
>
> also ich hab die Aufgabe angefangen und möchte gerne wissen
> ob mein Weg richtig ist , so dass ich sicher mit dieser art
> und weise fortfahren kann
Hallo,
die Gedanken, die Du Dir machst, sind richtig, präsentieren würde man sie etwas anders: man würde überhaupt nicht verraten, wie man diese x und y gefunden hat. Sondern man würde sie so definieren, wie Du es tust, erklären, warum diese Definition sinnvoll ist und dann vorrechnen, warum das frisch definierte x und y tun, was von ihnen gefordert wurde.
Mir fällt auf, daß Du Dir Mühe gegeben hast, Deine Gedankengänge lesbar aufzuschreiben, so, wie Dir das neulich von jemandem empfohlen wurde.
Ich selbst würde mehr Text spendieren - ein Beweis ohne erklärenden Text ist um keinen Deut mathematischer. Man darf auch in der Mathematik Worte machen. Naturgemäß fallen sie etwas weniger blumig aus als in manch anderer Disziplin.
> In der Aufgabe ist ja ein " genau dann wenn " zu lesen ,
> ich habe also eine Äquivalenz u zeigen also beidee
> richtungen richtig ?
Ja.
>
> Richtung 1 :
>
>
> Halbgruppe (A,o) iist Gruppe [mm]\Rightarrow \forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm]
> A [mm]\exists[/mm] x,y :
>
> a o x = b [mm]\wedge[/mm] y o a = b
>
Beweis:
Nach Voraussetzung ist die
> Halbgruppe (A,o) iist Gruppe
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] zusätzlich zur assoziativität existieren
> neutrales
> und inverses Element :
Es gibt also ein [mm] e\in [/mm] A so, daß für jedes [mm] g\in [/mm] A gilt
e o g = [mm] g\circ [/mm] e = g,
und für jedes [mm] g\in [/mm] A gibt es ein g' [mm] \in [/mm] A mit
[mm] g\circ g'=g'\circ [/mm] g=e.
Seien nun [mm] a,b\in [/mm] A.
Da A eine Gruppe ist, hat a ein Inverses a'.
Mit x:= [mm] a'\circ [/mm] b
erhält man
[mm] a\circ x=a\circ (a'\circ [/mm] b)
[mm] =(a\circ a')\circ [/mm] b (Assoziativität der Verknüpfung)
= [mm] e\circ [/mm] b (denn a und a' sind invers)
= b (denn e ist das neutrale Element).
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ e o b = b
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a o a´) o b = b
> [mm]\Rightarrow[/mm] a o (a´o b) = b
>
> definiere (a´o b) = x [mm]\Rightarrow[/mm] a o x = b
Du siehst, daß der Ablauf bei mir genau andersherum ist.
Für das y dann entsprechend.
Also gilt
> Halbgruppe (A,o) iist Gruppe [mm]\Rightarrow \forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm]
> A [mm]\exists[/mm] x,y :
>
> a o x = b [mm]\wedge[/mm] y o a = b
> qed.
>
> aber ich hab jetzt x = (a´o b)
>
> und y = ( b o a´)
>
> also :
>
> Entweder ich bin mit meinem Weg auf dem Holzweg ,
> oder x = y
>
>
> oder :
>
> eine Gruppe bei der gilt :
>
> forall a,b [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] x,y :
> a o x = b [mm]\wedge[/mm] y o a = b
>
> ist nicht kommutativ
>
Ich verstehe Dein Problem nicht so recht, versuche aber trotzdem zu antworten.
In der Regel werden x := (a´o b) und y := ( b o a´) verschieden sein.
Ist Deine Verknüpfung kommutativ, so sind x und y gleich. Aber das stört doch nicht, oder?
> Nun die andere richtung :
Ist (A,o) eine Halbgruppe mit
>
> [mm]\forall[/mm] [mm] a,b\in [/mm] A [mm] \exists [/mm] x,y :
> a o x = b y o a = b
so folgt: die
> Halbgruppe (A,o) iist
> Gruppe
>
>
> muss ich ja zeigen das aus :
>
>
> [mm]\forall[/mm] a,b A x,y :
> a o x = b y o a = b
>
>
> folgt , dass neutrales und inverses Element existiert:
Ganz recht.
>
> denn das sind ja noch die fehlenden Bedingungen
> die Assoziiativität ist ja bei der Halbgruppe gegeben
Ja.
>
>
> als ist quasi zu zeigen :
>
>
> a o x = b [mm]\wedge[/mm] y o a = b
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] neutrales und inverses element existiert.
Ja.
Ein Ansatzpunkt für den Nachweis des neutralen Elementes ist folgendes:
Sei [mm] g\in [/mm] A.
Wenn das da oben für alle [mm] a,b\in [/mm] A gilt, gilt es auch für a:=g und b:=g.
==> es gibt (nenn die Elemente statt x und x lieber z.B.) [mm] e_r [/mm] und [mm] e_l [/mm] mit: ...
Nun mußt Du zeigen, daß [mm] e_r [/mm] und [mm] e_l [/mm] das rechts- bzw. linksneutrale Element auch für jedes andere Element [mm] h\in [/mm] A sind (und nicht etwa nur für g).
Fürs Inverse setze dann später b:=e und reize die beiden Eigenschaften aus.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:06 So 18.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
|
|
|
| |
|
>
Hallo,
vielleicht könntest Du Deine eventuelle Frage mal etwas wortreicher stellen...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 18.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo,
also zunächst gilt also für ein spezielles g :
g o [mm] c_{r} [/mm] = g [mm] c_{l} [/mm] o g = g
Also für das spezielle g ist gezeigt das ein linksneutrales und ein rechtsneutrales Element für g existiert ?
aber für das neutrale element gilt doch
e o g = g o e = g also muss doch [mm] c_{r} [/mm] = [mm] c_{l} [/mm] sein
ist das hier denn schon gezeigt ?? also ist hier schon gezeigt dass für g ein neutrales element existiert ??
dann soll ich noch zeigen xdas was für das spezielle g gilt für alle elemente
h [mm] \in [/mm] A gilt und nicht nur für g ?
In der vorraussetzung
[mm] \forall [/mm] a , b [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] x,y : a o x = b und y o a = b
ist doch nicht ausgeschlossen dass a = b ist :
also gilt nach dieser Voraussetzing doch auch :
[mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] x,y : h o x = h und y o h = h
mit x = [mm] c_{r} [/mm] und y = [mm] c_{l}
[/mm]
h o [mm] c_{r} [/mm] = h und [mm] c_{l} [/mm] o h = h
also für alle Elemente h \ in A
Und wie gesaght : reicht es denn die existens eines linksneutralen und
rechtsneutralen elements zu zeigen ??
muss ich nicht die existens eines eindeutigen e
mit e o h = h o e = h ??
ich bin dankbar für jede Antwort
lg
Thomas
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> also zunächst gilt also für ein spezielles g :
>
> g o [mm]c_{r}[/mm] = g [mm]c_{l}[/mm] o g = g
>
> Also für das spezielle g ist gezeigt das ein linksneutrales
> und ein rechtsneutrales Element für g existiert ?
Hallo,
ja. Für g ist die Existenz eines solchen Elementes gezeigt.
Daß haargenau diese [mm] e_l [/mm] und [mm] e_r [/mm] es auch für jedes andere h aus der Gruppe tun, ist noch nachzuweisen, ebenso wie die Tatsache, daß [mm] e_l=e_r [/mm] gilt.
> aber für das neutrale element gilt doch
>
> e o g = g o e = g also muss doch [mm]c_{r}[/mm] = [mm]c_{l}[/mm] sein
>
> ist das hier denn schon gezeigt ??
Nein, die Gleichheit ist noch nicht gezeigt, das ist später noch zu tun.
> dann soll ich noch zeigen xdas was für das spezielle g gilt
> für alle elemente
> h [mm]\in[/mm] A gilt und nicht nur für g ?
Ja. Aber etwas mehr sogar: Du mußt wie bereits erwähnt zeigen, daß haargenau die beiden Elemente [mm] e_l [/mm] und [mm] e_r [/mm] von oben das Geforderte auch für h tun,
daß also h o [mm]e_{r}[/mm] = h [mm]e_{l}[/mm] o h = h gilt.
> also gilt nach dieser Voraussetzing doch auch :
>
> [mm]\forall[/mm] h [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] x,y : h o x = h und y o h = h
Soweit ist das natürlich richtig, wenn auch an dieser Stelle nicht nötig zu erwähnen.
>
> mit x = [mm]e_{r}[/mm] und y = [mm]e_{l}[/mm]
Das wünschst Du Dir. Gezeigt ist das nicht.
Gefordert ist was anderes: Du mußt vorrechnen, daß für beliebiges [mm] h\in [/mm] G [mm] e_{l}o [/mm] h = h gilt.
Mach Dir hierfür zunutze, daß es nach Voraussetzung ein y gibt mit h=gy.
Nun berechne [mm] e_{l}o [/mm] h=...
> Und wie gesaght : reicht es denn die existens eines
> linksneutralen und
> rechtsneutralen elements zu zeigen ??
Wenn Du gezeigt hast, daß es ein links- und ein rechtsneutrales Element gibt, mußt Du noch zeigen, daß sie gleich sind, daß also [mm] e_l=e_r [/mm] gilt.
> muss ich nicht die existens eines eindeutigen e
>
> mit e o h = h o e = h ??
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
