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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Halbkreis parameterisieren
Halbkreis parameterisieren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Halbkreis parameterisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 So 05.05.2013
Autor: theresetom

Wie parameterisiert man einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0 und Radius R sodass man den gesamten Rand mit gerade Stück des Halbkreises parametrisiert?
        
Bezug
Halbkreis parameterisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 So 05.05.2013
Autor: abakus


> Wie parameterisiert man einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0
> und Radius R sodass man den gesamten Rand mit gerade Stück
> des Halbkreises parametrisiert?

Hallo,
wie wäre es denn mit
x(t)=R*cos(t) für [mm]0\le t \le \pi[/mm]
und x(t)=-R+(t-[mm]\pi[/mm]) für [mm]\pi y(t) wird entsprechend mit dem Sinus gemacht und ist im zweiten Abschnitt konstant Null.
 

Bezug
                
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Halbkreis parameterisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 So 05.05.2013
Autor: theresetom

Geht genauso:
[mm] \gamma(t)=\begin{cases} R e^{it}, & \mbox{für } t\in [0,\pi] \\ -R+(t- \pi ), & \mbox{für } t\in (\pi,\pi+2R] \end{cases} [/mm]

2 Fragen hätte ich zu dem Halbkreis.
1) Ist [mm] \gamma [/mm] nullhomotop?
Ich denke schon, dass man den Halbkreis auf einen Punkt zusammenziehen kann aber finde kein stetiges H, dass dies machen würde.

2) Kann man die Windungszahl ausrechnen?
DIe Formel ist:
[mm] Ind_\gamma [/mm] (z)= [mm] \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{1}{\epsilon-z} [/mm] d [mm] \epsilon [/mm]
[mm] Ind_\gamma [/mm] (z) (0) = 1/(2 [mm] \pi i)*[\int_0^{\pi} \frac{1}{R e^{it}} [/mm] Ri [mm] e^{it} [/mm] dt + [mm] \int_{\pi}^{\pi + 2R} \frac{1}{-R+(t-\pi)} [/mm] ]dt
= [mm] \frac{1}{2 \pi i} (\pi [/mm] i + ln(R)- ln(-R))

Bezug
                        
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Halbkreis parameterisieren: Nullhomotopie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mo 06.05.2013
Autor: Al-Chwarizmi


>  1) Ist [mm]\gamma[/mm] nullhomotop?
>  Ich denke schon, dass man den Halbkreis auf einen Punkt
> zusammenziehen kann aber finde kein stetiges H, dass dies
> machen würde.


Man kann doch eine stetige lineare Kontraktion nehmen:
[mm] H(t,k)=k*\gamma(t) [/mm]     ,  $\ [mm] 1\ge k\ge0$ [/mm]

LG ,   Al-Chw.

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Halbkreis parameterisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Mo 06.05.2013
Autor: fred97


> Geht genauso:
>  [mm]\gamma(t)=\begin{cases} R e^{it}, & \mbox{für } t\in [0,\pi] \\ -R+(t- \pi ), & \mbox{für } t\in (\pi,\pi+2R] \end{cases}[/mm]
>  
> 2 Fragen hätte ich zu dem Halbkreis.
>  1) Ist [mm]\gamma[/mm] nullhomotop?


Die Frage ist sinnlos !

Es gehört immer eine Grundmenge dazu !

Z. B. ist [mm]\gamma[/mm] nullhomotop in [mm] \IC. [/mm]

[mm]\gamma[/mm] ist aber nicht nullhomotop in [mm] \IC [/mm] \ { [mm] i*\bruch{R}{2} [/mm] }


>  Ich denke schon, dass man den Halbkreis auf einen Punkt
> zusammenziehen kann aber finde kein stetiges H, dass dies
> machen würde.
>  
> 2) Kann man die Windungszahl ausrechnen?
>  DIe Formel ist:
> [mm]Ind_\gamma[/mm] (z)= [mm]\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{1}{\epsilon-z}[/mm]
> d [mm]\epsilon[/mm]
>  [mm]Ind_\gamma[/mm] (z) (0) = 1/(2 [mm]\pi i)*[\int_0^{\pi} \frac{1}{R e^{it}}[/mm]
> Ri [mm]e^{it}[/mm] dt + [mm]\int_{\pi}^{\pi + 2R} \frac{1}{-R+(t-\pi)}[/mm]
> ]dt
>  = [mm]\frac{1}{2 \pi i} (\pi[/mm] i + ln(R)- ln(-R))


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Halbkreis parameterisieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 So 05.05.2013
Autor: abakus


> > Wie parameterisiert man einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0
> > und Radius R sodass man den gesamten Rand mit gerade
> Stück
> > des Halbkreises parametrisiert?
> Hallo,
> wie wäre es denn mit
> x(t)=R*cos(t) für [mm]0\le t \le \pi[/mm]
> und x(t)=-R+(t-[mm]\pi[/mm])
> für [mm]\pi
> y(t) wird entsprechend mit dem Sinus
> gemacht und ist im zweiten Abschnitt konstant Null.
>  

Hallo,
mir ist für die y-Koordinate noch eine Version eingefallen, die ohne Fallunterscheidung auskommt:
y(t)=0,5*R*sin(t) + abs(0,5*R*sin(t)) mit t von 0 bis [mm] $2*\pi$. [/mm]
Die x-Koordinate ist dann einheitlich x(t)=cos(t).
Gruß Abakus

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