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Halden: maximale Höhe von Halden
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:57 Do 15.11.2007
Autor: Dani7

Aufgabe
Wie groß ist die maximale Tiefe einer Halde mit d Nachfolgern mit n Elementen (falls Sie es
benötigen: Die Formel fürr die geometrische Reihe können Sie recherchieren)?

Eine Halde ist ja so aufgebaut, dass ein Vater immer zwei Söhne hat, dann ist ja wegen der Summenformel der geometrischen Reihe:

Summe [mm] =(2^n)-1 [/mm]

laut Vorlesung ergibt sich aber [mm] (2^n)-1+1, [/mm] und daraus kann man dann die maximale Höhe einer Halde errechnen mit:

[mm] 2^n<=n [/mm] und daraus ergibt sich dann n<= |ld(n)|

obwohl ich jetzt nicht genau weiß, woher die +1 kommt, kann ich das Beispiel noch nachvollziehen.
Wenn man nun aber d Nachfolger anstatt von zweien hat, dann ergibt sich laut geometrischer Reihe ja:

s (n)= [mm] 1*((d^n)-1)/(d-1) [/mm]
Ich weiß nun nicht ob ich hier auch die +1 dazuzählen muß, wenn ja, dann lautet meine weitere Berechnung:

[mm] (((d^n)-1) [/mm] /(d-1) )+1<=n

aber hier weiß ich nicht mehr weiter, wie kann man oder soll man hier weiterrechnen?
es wäre nett wenn mir jemand antworten würde.
Ich danke euch im voraus.
lg  daniela


        
Bezug
Halden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Do 15.11.2007
Autor: Martin243

Hallo,

ich glaube, der Variablenname n wird hier etwas überstrapaziert.
Nennen wir $n$ die Gesamtzahl der Elemente, $d$ die Anzahl der Nachfolger pro Element und $t$ die maximale Tiefe (warum eigentlich maximal, ist sie bei gegebener Anzahl der Nachfolger nicht fest?).
Dann erhalten wir für $d=2$, wie du richtig festgestellt hast:
$n = [mm] 2^t [/mm] - 1$

Das +1 aus der Vorlesung kann ich mir gar nicht erklären.

Dann gilt für die (maximale) Tiefe:
$t = [mm] ld\left(n+1\right)$ [/mm]


Für andere $d$ kann man genauso nach der Summenformel rechnen:
$n = [mm] \bruch{d^t-1}{d-1}$ [/mm]

Hier bekommst du für die Tiefe $t$:
$t = [mm] \log_d\left(n*(d-1)+1\right)$ [/mm]


Gruß
Martin

Bezug
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