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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben sei das folgende System
[mm] x'=y+\alpha*x-\beta*y^3
[/mm]
[mm] y'=-x^3+\gamma*y^5
[/mm]
a) Für welche Werte von [mm] \alpha \beta \gamma [/mm] haben wir eine Hamilton Funktion bzw. ist das System hamiltonianisch
b) Für diese Werte gilt es zu untersuchen ob der Ursprung (x,y)=(0,0) stabil ist oder nicht |
Hallo alle zusammen
a) Ich bezeichne mit H(x,y) meine Hamilton Fkt
[mm] \bruch{\partial x'}{\partial x} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial y'}{\partial y} =5*\gamma*y^4 [/mm] = 0
Es folgt die Lösung, dass für [mm] \alpha [/mm] = 0 [mm] \beta [/mm] = [mm] \in [/mm] R [mm] \gamma [/mm] = 0 das System häm. ist
[mm] \integral_{}^{}{x' dy}= y^2/2-\beta*x^4/4 [/mm] + c(x)
[mm] -\integral_{}^{}{y' dx}= x^4/4 [/mm] +c(y)
wobei:
[mm] c(x)=x^4/4
[/mm]
und
[mm] c(y)=y^2/2-\beta*x^4/4
[/mm]
Somit:
[mm] H(x,y)=y^2/2-\beta*x^4/4+x^4/4
[/mm]
b) Nun ich nehme jetzt eine Jacobi Matrix her:
[mm] J(x,y)=\pmat{ 3*x^2 & 0 \\ 0 & 1-3\beta*y^2 }
[/mm]
[mm] J(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Für die Stabilität ist die hinreichende Bedingung hier, dass ein Minimum vorliegt.
Also Hauptminor Kriterium kann ich hier vergessen, Eigenwerte sind 0 und 1, somit sagt mir das auch nichts. Andere Kriterien fallen mir hier leider nicht ein.
Das einzige wie ich herausgefunden habe, dass (0,0) ein Minimum ist, ist durch Einsetzen der (x,y) Werte in die Funktion um (0,0), dann sieht man, dass die Funktion um das Minimum herum immer immer größere Funktionswerte annimmt.
Der Grund für meinen Eintrag liegt im Bedenken, ob meine H(x,y) überhaupt richtig ist?!
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mo 11.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei das folgende System
> [mm]x'=y+\alpha*x-\beta*y^3[/mm]
> [mm]y'=-x^3+\gamma*y^5[/mm]
>
> a) Für welche Werte von [mm]\alpha \beta \gamma[/mm] haben wir eine
> Hamilton Funktion bzw. ist das System hamiltonianisch
> b) Für diese Werte gilt es zu untersuchen ob der Ursprung
> (x,y)=(0,0) stabil ist oder nicht
Tipp: es heisst hamiltonsch. Nur im Englischen ist der Begriff "hamiltonian".
> Hallo alle zusammen
>
> a) Ich bezeichne mit H(x,y) meine Hamilton Fkt
>
> [mm]\bruch{\partial x'}{\partial x}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] = 0
> [mm]\bruch{\partial y'}{\partial y} =5*\gamma*y^4[/mm] = 0
Ich verstehe nicht, warum du die rechte Seite 0 setzt. Die Bedingung, die aus
[mm] x' = \bruch{\partial}{\partial y} H(x,y) [/mm], [mm] y' = - \bruch{\partial}{\partial x} H(x,y) [/mm]
folgt, ist doch
[mm]\bruch{\partial x'}{\partial x} + \bruch{\partial y'}{\partial y} = 0[/mm].
>
> Es folgt die Lösung, dass für [mm]\alpha[/mm] = 0 [mm]\beta[/mm] = [mm]\in[/mm] R
> [mm]\gamma[/mm] = 0 das System häm. ist
ok.
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{x' dy}= y^2/2-\beta*x^4/4[/mm] + c(x)
Nein: [mm] $y^2/2-\beta*\red{y}^4/4 [/mm] +c(x)$ .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 12.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
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> Tipp: es heisst hamiltonsch. Nur im Englischen ist der
> Begriff "hamiltonian".
>
Vielen Dank, ich kannte den korrekten Ausdruck leider nicht, das ich es vom ital. ins dt. eingedeutscht hatte!
>
> [mm]x' = \bruch{\partial}{\partial y} H(x,y) [/mm], [mm]y' = - \bruch{\partial}{\partial x} H(x,y)[/mm]
>
> folgt, ist doch
>
> [mm]\bruch{\partial x'}{\partial x} + \bruch{\partial y'}{\partial y} = 0[/mm].
>
Da hast du wohl Recht.
Mir kam es so vor, als hätte ich in Mechanik Teil II einmal folgendes gesehen:
x' = [mm] -\bruch{\partial}{\partial y} [/mm] H(x,y) , y' = [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] H(x,y)
Ist das möglich?
> >
> > Es folgt die Lösung, dass für [mm]\alpha[/mm] = 0 [mm]\beta[/mm] = [mm]\in[/mm] R
> > [mm]\gamma[/mm] = 0 das System häm. ist
>
> ok.
> >
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{x' dy}= y^2/2-\beta*x^4/4[/mm] + c(x)
>
> Nein: [mm]y^2/2-\beta*\red{y}^4/4 +c(x)[/mm] .
>
Irgendwie habe ich wohl falsch abgetippt, ich habe diese Lösung wie du sie richtig rot markiert hast auch hergenommen, um meine Jacobi Matrix zu erstellen.
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Hallo Zuggel,
>
> Mir kam es so vor, als hätte ich in Mechanik Teil II
> einmal folgendes gesehen:
>
>
> x' = [mm]-\bruch{\partial}{\partial y}[/mm] H(x,y) , y' =
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}[/mm] H(x,y)
>
>
> Ist das möglich?
>
Ja, das ist auch möglich.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mo 18.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mir kam es so vor, als hätte ich in Mechanik Teil II
> einmal folgendes gesehen:
>
>
> x' = [mm]-\bruch{\partial}{\partial y}[/mm] H(x,y) , y' =
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}[/mm] H(x,y)
>
>
> Ist das möglich?
Wie Mathepower schon schrieb: ja. Wo das Minuszeichen steht, ist Konvention; wichtig ist, dass eine der beiden DGLen ein Minus hat, die andere nicht. Das nennt sich hochtrabend symplektische Struktur des Phasenraums.
Meine Wahl ist die übliche, wenn x die Orts- und y die Impulsvariable ist.
Merkregel: die Hamiltonfunktion des freien Massenpunktes in einer Dimension ist
[mm] H(q,p) = \bruch{p^2}{2m} [/mm],
daher ist die Geschwindigkeit
[mm] \dot{q} = \bruch{\partial H}{\partial p} = \bruch{p}{m} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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