Harmonische Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Do 05.07.2012 | | Autor: | Robse |
| Aufgabe | Funktionen, die die Laplace-Gleichung [mm] \Delta [/mm] f = 0 lösen, nennt man harmonische Funktionen.
Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen harmonisch sind.
f : [mm] \IR^2 [/mm] \ [mm] \{0,0 \} \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] ln(\parallel [/mm] x [mm] \parallel) [/mm] |
Mein Ansatz ist folgender:
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2}
[/mm]
[mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] ln(\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2})
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] f = div (grad [mm] f(x_{1},x_{2})) [/mm] = div [mm] \vektor{
\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\
\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}}
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] f = div [mm] \vektor{\bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2} \\ \bruch{x_{2}}{x_{1}^2+x_{2}^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_{1}^2+x_{2}^2} [/mm] - [mm] \bruch{2x_{1}^2}{(x_{1}^2+x_{2}^2)^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x_{1}^2+x_{2}^2} [/mm] - [mm] \bruch{2x_{2}^2}{(x_{1}^2+x_{2}^2)^2}
[/mm]
Leider ergibt das aber nicht 0. Ich habe es schon meherere Male durchgerechnet, aber leider finde ich den Fehler nicht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Robse
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Hallo Robse,
> Funktionen, die die Laplace-Gleichung [mm]\Delta[/mm] f = 0 lösen,
> nennt man harmonische Funktionen.
> Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen harmonisch
> sind.
>
> f : [mm]\IR^2[/mm] \ [mm]\{0,0 \} \to \IR[/mm] mit [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] =
> [mm]ln(\parallel[/mm] x [mm]\parallel)[/mm]
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm]
> [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]ln(\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2})[/mm]
>
> [mm]\Delta[/mm] f = div (grad [mm]f(x_{1},x_{2}))[/mm] = div [mm]\vektor{ \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\
\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}}[/mm]
>
> [mm]\Delta[/mm] f = div [mm]\vektor{\bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2} \\
\bruch{x_{2}}{x_{1}^2+x_{2}^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{2x_{1}^2}{(x_{1}^2+x_{2}^2)^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{2x_{2}^2}{(x_{1}^2+x_{2}^2)^2}[/mm]
>
> Leider ergibt das aber nicht 0. Ich habe es schon meherere
> Male durchgerechnet, aber leider finde ich den Fehler
> nicht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich nenne mal [mm]x_1=x[/mm] und [mm]x_2=y[/mm], dann ist das nicht so ein Indexgeschwurbel.
Also [mm]f(x,y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)[/mm]
Weiter ist [mm]\Delta f=f_{xx}+f_{yy}[/mm]
[mm]f_x(x,y)=\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+y^2}\cdot{}2x=\frac{x}{x^2+y^2}[/mm]
[mm]f_y(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}[/mm]
Dann [mm]f_{xx}(x,y)=\frac{x^2+y^2-x(2x)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
Und wegen der Symmetrie entspr. [mm]f_{yy}(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
Das addiert sich also schön zu 0 ...
>
> Robse
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Do 05.07.2012 | | Autor: | Robse |
Danke für deine schnelle Antwort. Eine kleine Frage dazu habe ich noch. Warum ist denn:
[mm] ln(\wurzel{x^2+y^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ln(x^2+y^2)
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Danke für deine schnelle Antwort. Eine kleine Frage dazu
> habe ich noch. Warum ist denn:
> [mm]ln(\wurzel{x^2+y^2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}ln(x^2+y^2)[/mm]
Zum einen ist [mm]\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}[/mm], zum anderen blicke zurück auf die Schulzeit und die dort gelernten Logarithmusgesetze, hier:
[mm]\log_b\left(a^r\right)=r\cdot{}\log_b(a)[/mm]
Beweise dazu findest du im Netz, die Regel ist allerdings so bekannt, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass du sie erst beweisen musst, bevor du sie anwenden darfst 
Gruß
schachuzipus
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