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Harmonische Reihe, abschätzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Fr 05.10.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
j [mm] \in \IN, [/mm]
t(j)..Anzahl der Teiler von j,
t'(j).. durchschnittliche Anzahl der Teiler der Zahlen von 1 bis n, also
t' (n) := 1/n [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] t(i)
In der Vorlesung gezeigt t' (n) = 1/n [mm] \sum_{i=1}^n [\frac{n}{i}] [/mm]
Folgerne [mm] H_n [/mm] -1 < =  t'(n) <= [mm] H_n [/mm]
wobei [mm] H_n [/mm] die harmonische Zahl bezeichnet.
[].. Gaußklammer

Hallo
Da [mm] H_n [/mm] - t'(n) >=0 ist mit geeigneter Abschätzung von t'(n)
ist die Abschätzung: t'(n) < = [mm] H_n [/mm] klar.

Wie kommt man aber nun auf die Abschätzung [mm] H_n [/mm] -1 < =  t'(n) ?
Hier wird die harmonische Reihe um das erste Glied verkürzt :
[mm] H_n [/mm] -1 = [mm] \sum_{i=2}^n [/mm] 1/i

Mfg,
LU

        
Bezug
Harmonische Reihe, abschätzen: Gaussklammer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Fr 05.10.2012
Autor: Helbig

Hallo Lu,

> Wie kommt man aber nun auf die Abschätzung [mm]H_n[/mm] -1 < =  
> t'(n) ?
>  Hier wird die harmonische Reihe um das erste Glied
> verkürzt :
>  [mm]H_n[/mm] -1 = [mm]\sum_{i=2}^n[/mm] 1/i

Die Gaussklammer [mm] $[\alpha]$ [/mm] genügt den beiden Ungleichungen:

[mm] $\alpha [/mm] -1 < [mm] [\alpha] \le \alpha\;.$ [/mm]

Die zweite hast Du schon für die Abschätzung nach oben, ich meine [mm] $t'(n)\le H_n$, [/mm] verwendet. Daher liegt es nahe, die andere für die Abschätzung nach unten zu nutzen. Mach das.

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                
Bezug
Harmonische Reihe, abschätzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Fr 05.10.2012
Autor: Lu-

Hallo,
Danke für den Hinweis

[mm] H_n [/mm] - t' (n) = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] 1/i- 1/n [mm] \sum_{i=1}^n [\frac{n}{i}] [/mm] < [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] 1/i - 1/n [mm] \sum_{i=1}^n (\frac{n}{i}-1) [/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] 1/i - [mm] \sum_{i=1}^n (\frac{1}{i}-1)=\sum_{i=1}^n [/mm] 1 = n
Ist das richtig so?

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Harmonische Reihe, abschätzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Fr 05.10.2012
Autor: Lu-

Den blöden Fehler hab ich längst bemerkt, hab es unüberlegt abgesendet ;)


Bezug
                        
Bezug
Harmonische Reihe, abschätzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Fr 05.10.2012
Autor: Helbig

Hallo Lu-

> [mm]H_n[/mm] - t' (n) = [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] 1/i- 1/n [mm]\sum_{i=1}^n [\frac{n}{i}][/mm]
> < [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] 1/i - 1/n [mm]\sum_{i=1}^n (\frac{n}{i}-1)[/mm]
> [mm]=\sum_{i=1}^n[/mm] 1/i - [mm]\sum_{i=1}^n (\frac{1}{i}-1)=\sum_{i=1}^n1 = n[/mm]
>  Ist das richtig so?

Fast. Bis zum vorletzten Gleichheitszeichen. Und Du willst als Ergebnis ja $1$ haben und nicht $n$. Das bekommst Du so:

[mm] $\frac [/mm] 1 n [mm] \sum_{i=1}^n \left(\frac n i - 1\right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n\left(\frac 1 i - \frac 1 n \right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n\frac [/mm] 1 i - [mm] 1\;.$ [/mm]

Grüße,
Wolfgang

Bezug
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