Harmonische Schwingung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Mo 12.02.2007 | | Autor: | homme |
| Aufgabe | In einem Weiher schwimmt ein Badefloß aus Holz (Länge und Breite = 5m, Höhe = 0,4m, Dichte Holz [mm] 0,6g/cm^3, [/mm] Dichte von Wasser [mm] 1g/cm^3)
[/mm]
a) Wie hoch ragt das Floß ais dem Wasser, wenn sich niemand auf dem Floß befindet
b) Nun sitzt auf dem Floß eine Gruppe von Studenten. Welche Massen dürfen die Studenten haben, damit das Floß nicht untergeht
c) Zeigen Sie, dass das Floß eine harmonische Schwingung ausführt, wenn alle Studenten aus b bei t = 0 gleichzeitig vom Floß ins Wasser springen.
d) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T |
Aufgabe a und b sind einfach. Ich habe jedoch ein Problem mit Aufgabe c bei der Herleitung der harmonischen Schwingung.
Ich habe folgenden Ansatz gemacht
m * x (2 Punkt) = mg - V(Floß im Wasser) *g
m*x (2 Punkt) = mg - [mm] b^2* [/mm] x(Eintauchtiefe) * g
Mein Problem ist jetzt, dass ich zwar als Lösung x = x' * cos (...) ansetzen könnte. Aber ich habe ja auf der linken Seite meines Ansatzes eine 2 Ableitung stehen meiner Kosinus-Funktion, aber auf der rechten Seite meine Konstant mg und das kann ja nicht sein. Da die Ableitung einer Kosinusfunktion keine Konstante ergibt. Wäre toll, wenn mir ein Physiker sagen könnte, wie man aus diesem Ansatz zeigen kann, dass das Floß eine harmonische Schwingung macht. Habe da als Chemiker nämlich so meine Probleme  Danke fürs Antworten.
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Hallo!
Es gibt einen einfachen Weg, um zu zeigen, daß eine Schwingung harmonisch ist: Zeige, daß die Kraft linear zur Auslenkung ist. Das hast du ja schon da stehen: F=...*x
Aber dann mußt du die Differenzialgleichung ja doch lösen. Nun, die Gewichtskraft und die Auftriebskraft heben sich im Gleichgewicht gegenseitig auf. Es macht daher Sinn, in diesem Fall x=0 zu setzen. Dann ist x immer nur die Differenz zur Ruhelage, also die Auslenkung.
Du hast dann auch keinen konstanten Wert mehr.
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Hallo!!
Also dass die Auftriebskraft proportional zur Tiefe ist kärt, dass es sich um eine periodische bewegung handelt.
Nun hast du folgende Differentialgleichung
x``=-a*x+b
a und b sind konstanten die du schon weißt. übrigens hast du bei deinem ansatz was vergessen:
auftriebsterm: [mm] b^2*x*\rho*g
[/mm]
Das ist aber nicht so schlimm 
Also diesem Typ von Dgl löst man folgendermaßen:
Zuerst den homogenen teil lösen:
x``=-a*x => [mm] x(t)=A*sin(\wurzel{a})+B*cos(\wurzel{a})
[/mm]
Nun hast du ja eine konstante dabei. Ich mache den Ansatz
x(t)+C
=> Durch einsetzen: -a*C+b=0 => C=b/a
=> du hast nun deine allgemeine Lösung
[mm] x(t)=A*sin(\wurzel{a})+B*cos(\wurzel{a})+b/a
[/mm]
x ist nun die Eindringtiefe in abhängigkeit der zeit. Durch Anfangsbedingungen(Anfangstiefe und Geschwindigkeit) kannst du A und B bestimmen:
Die Freuquenz ist nun [mm] \wurzel{a}
[/mm]
bei dir wäre das: [mm] \wurzel{b^2*g*\rho/m}
[/mm]
mfg dani
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