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| Aufgabe | Bringen sie die gegebenen Funktionen auf die Form: y(t) = A [mm] sin(\omega [/mm] *t + [mm] \phi), [/mm] so dass sie A und [mm] \phi [/mm] herauslesen können.
a) y(t) = [mm] \wurzel{2} sin(\omega [/mm] t + [mm] \pi/4) [/mm] - [mm] cos(\omega [/mm] t)
b) y(t) = [mm] cos(\omega [/mm] t + [mm] \pi/2) [/mm] + [mm] sin(\omega [/mm] t + [mm] \pi/2) [/mm] |
Ich habe eine ziemlich allgemeine Frage. Bei diesen Aufgaben habe ich versucht mit dem Additionstheorem zu vereinfachen. Jedoch kürzen sich nicht alle sin oder alle cos heraus. Wie kann ich denn hier vorgehen um am Schluss nur noch einen sin oder cos zu erhalten?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bringen sie die gegebenen Funktionen auf die Form: y(t) = A
> [mm]sin(\omega[/mm] *t + [mm]\phi),[/mm] so dass sie A und [mm]\phi[/mm] herauslesen
> können.
>
> a) y(t) = [mm]\wurzel{2} sin(\omega[/mm] t + [mm]\pi/4)[/mm] - [mm]cos(\omega[/mm] t)
links [mm] \wurzel{2}(sin(wt)cos(\pi/4)+cos(wt)sin\pi/4)-cos(wt)=A*sin(wt)cos(\phi)+A*cos(wt)sin\pi(4)
[/mm]
damit Koeffizientenvergleich ;
[mm] \wurzel{2}cos(\pi(4)=Acos˜(\phi)
[/mm]
[mm] \wurzel{2}cos(\pi(4)-1=Acos\phi
[/mm]
daraus A und [mm] \phi [/mm] berechnen.
entsprechend bei b) da kannst du abkürzen mit rechts [mm] sin(wt+\pi/2+\phi) [/mm] links bleibt.
Gruss leduart
> b) y(t) = [mm]cos(\omega[/mm] t + [mm]\pi/2)[/mm] + [mm]sin(\omega[/mm] t + [mm]\pi/2)[/mm]
> Ich habe eine ziemlich allgemeine Frage. Bei diesen
> Aufgaben habe ich versucht mit dem Additionstheorem zu
> vereinfachen. Jedoch kürzen sich nicht alle sin oder alle
> cos heraus. Wie kann ich denn hier vorgehen um am Schluss
> nur noch einen sin oder cos zu erhalten?
Der ansatz ist rechts [mm] A*sin(wt+\phi) [/mm] mit Additionstheorm, manchmal auch links die AddTh. Dann koeffizientenvergleich.
anschaulich und zum Ablesen auch in einem Zeigerdiagramm.
Gruss leduart
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
> Hallo
> > Bringen sie die gegebenen Funktionen auf die Form: y(t)
> = A
> > [mm]sin(\omega[/mm] *t + [mm]\phi),[/mm] so dass sie A und [mm]\phi[/mm] herauslesen
> > können.
> >
> > a) y(t) = [mm]\wurzel{2} sin(\omega[/mm] t + [mm]\pi/4)[/mm] - [mm]cos(\omega[/mm] t)
> links
> [mm]\wurzel{2}(sin(wt)cos(\pi/4)+cos(wt)sin\pi/4)-cos(wt)=A*sin(wt)cos(\phi)*A*cos(wt)sin\pi(4)[/mm]
die linke Seite ist mir klar, aber ich habe dann den sin&cos von [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ausgerechnet und bin dann auf
1/2 * [mm] sin(\omega [/mm] * t) - 1/2 * cos [mm] (\omega [/mm] * t) gekommen...
woher kommt der Teil auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens??
> damit Koeffizientenvergleich ;
> [mm]\wurzel{2}cos(\pi(4)=Acos˜(\phi)[/mm]
> [mm]\wurzel{2}cos(\pi(4)-1=Acos\phi[/mm]
> daraus A und [mm]\phi[/mm] berechnen.
> entsprechend bei b) da kannst du abkürzen mit rechts
> [mm]sin(wt+\pi/2+\phi)[/mm] links bleibt.
> Gruss leduart
>
> > b) y(t) = [mm]cos(\omega[/mm] t + [mm]\pi/2)[/mm] + [mm]sin(\omega[/mm] t + [mm]\pi/2)[/mm]
> > Ich habe eine ziemlich allgemeine Frage. Bei diesen
> > Aufgaben habe ich versucht mit dem Additionstheorem zu
> > vereinfachen. Jedoch kürzen sich nicht alle sin oder alle
> > cos heraus. Wie kann ich denn hier vorgehen um am Schluss
> > nur noch einen sin oder cos zu erhalten?
> Der ansatz ist rechts [mm]A*sin(wt+\phi)[/mm] mit Additionstheorm,
> manchmal auch links die AddTh. Dann
> koeffizientenvergleich.
> anschaulich und zum Ablesen auch in einem Zeigerdiagramm.
> Gruss leduart
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Hallo ponysteffi,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
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> > Hallo
> > > Bringen sie die gegebenen Funktionen auf die Form:
> y(t)
> > = A
> > > [mm]sin(\omega[/mm] *t + [mm]\phi),[/mm] so dass sie A und [mm]\phi[/mm] herauslesen
> > > können.
> > >
> > > a) y(t) = [mm]\wurzel{2} sin(\omega[/mm] t + [mm]\pi/4)[/mm] - [mm]cos(\omega[/mm] t)
> > links
> >
> [mm]\wurzel{2}(sin(wt)cos(\pi/4)+cos(wt)sin\pi/4)-cos(wt)=A*sin(wt)cos(\phi)*A*cos(wt)sin\pi(4)[/mm]
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> die linke Seite ist mir klar, aber ich habe dann den
> sin&cos von [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ausgerechnet und bin dann auf
> 1/2 * [mm]sin(\omega[/mm] * t) - 1/2 * cos [mm](\omega[/mm] * t) gekommen...
>
> woher kommt der Teil auf der rechten Seite des
> Gleichheitszeichens??
Durch Anwendung eines Additionstheorems
auf den Ansatz [mm]A*\sin\left(\omega*t+\varphi\right)[/mm] entsteht der rechte Teil:
[mm]A*\sin\left(\omega*t+\phi\right)=A*sin(wt)cos(\phi)+A*cos(wt)sin(\phi)[/mm]
Gruss
MathePower
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