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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Claudi85 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So, und da hab ich immer noch eine frage
Sei M eine teilmenge des \IR^{n} offen. Der n-dimensionale laplance Operator wird durch \Delta: C²(M,\IR)->C(M,\IR) u-> \Delta u:= \summe_{i=1}^{n} \partial_{i}²u definieret.
Die funktion u \in C²(M,\IR) heißt harmonisch in M falls \Delta=0 ist.
Zeige das k_{n} ( aus \IR^{n}\0 harmonisch ist
$k_{n}(x):=\begin{cases} ln |x |, & \mbox{für } { n=2} \\ |x |^{2-n} , & \mbox{für } n \not=2} \end{cases}$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo claudia!
Ich mache es dir für den Fall $k=2$ mal vor; den Fall $k [mm] \ne [/mm] 2$ kannst du dann ja mal selber versuchen. 
Es gilt für alle [mm] $i=1,2,\ldots,n$:
[/mm]
[mm] $\frac{\partial k_2(x)}{\partial x_i} [/mm] = [mm] \frac{2x_i}{\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{\partial^2 k_2(x)}{\partial x_i^2} [/mm] = [mm] \frac{2\sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2} - \frac{2x_i^2}{\sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2}}}{x_1^2 + \ldots + x_n^2} [/mm] = [mm] \frac{2(x_1^2 + \ldots + x_n^2) - 2x_i^2}{x_1^2 + \ldots + x_n^2}$,
[/mm]
und daher:
[mm] $\Delta k_2(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial^2 k_2(x)}{\partial x_i^2} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \left[ \frac{2(x_1^2 + \ldots + x_n^2) - 2x_i^2}{x_1^2 + \ldots + x_n^2} \right] [/mm] =0$.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 05.06.2005 | | Autor: | Claudi85 |
VIIIEEELLLEENNN Dank!!!!
Mach mich gleich mal an die Arbeit und werd die anderen "Kas" noch nachrechen.
Viele Grüße
Claudi
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