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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 31.05.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Die algebraische Gleichung 2. Grades
[mm] 5x^{2}+6xy+5y^{2}-8=0 [/mm] (*)
charakterisiert ein Objekt in der x-y-Ebene, möglicherweise einen Kegelschnitt! Stellen Sie dies fest u nd skizzieren Sie ggf. den Kegelschnitt. Verwenden Sie dazu die gebräuchliche Vorgehensweise
1. Ermittlung der in der Gleichung enthaltenen quatratischen Form und deren Erzeugung durch eine symmetrische Matrix A.
2. Bestimmung normierter Eigenvektoren zu dieser Matrix A.
3. Zusatzfrage an dieser Stelle: Wenn die Dimension des Eigenraumes zu einem Eigenwert gleich 1 ist, wieviel normierte Eigenvektoren gibt es dann zu diesem Eigenwert?
4. Bildung einer orthogonalen Transformationsmatrix T mit det(T)=1, spaltenweise aus den Eigenvektoren bestehend. Charakterisieren Sie die durch T dargestellte Transformation (geometrische Bedeutung)
5. Darstellung der Gleichung (*) in dem transformierten Koordinatensystem
6. Falls lineare Terme vorhanden sind, Elimination dieser Terme durch geeignete Koordinatentranslation.
7. Charakterisierung des Objektes über die Gleichung im transformierten System.
8. Skizze des Objektes im transformierten System, das zuglei im x-y-System dargestellt wird. |
Hi,
ich verstehen von den Fragen einige nicht oder nur teilweise. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
Zu 1: hab ich 8=(x y) [mm] \pmat{ 5 & 3 \\ 3 & 5 } \vektor{x \\ y}
[/mm]
müsste stimmen
Zu 2: hab ich [mm] u=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] v=\vektor{1 \\ -1} [/mm] Eigenwerte: [mm] \lambda_{1}=8 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=2
[/mm]
müsste auch stimmen
Zu 3: Das ist das erste Problem, versteh die Frage gar nicht richtig. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte...
Zu 4: 2. Problem: meine Transformationsmatrix ist [mm] T=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }, [/mm] det(T) ist in diesem Fall -1. Ist das prinzipiell richtig und nur hier falsch, weil in der Aufgabenstellung explizit nach det(T)=1 gefragt wurde. Und könnte ich dann einfach die Eigenvektoren in T tauschen? Bei der geometrischen Bedeutung seh ich auch nicht ganz durch und könnte etwas Hilfe gebrauchen...
Zu 5: ok
Zu 6: es sind kiene linearen Terme forhanden, richtig?
Zu 7: ok
Vielen Dank für Eure Hilfe
MfG
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Fr 01.06.2007 | | Autor: | polyurie |
Hat wirklich keiner ne Idee... :(
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> Die algebraische Gleichung 2. Grades
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> [mm]5x^{2}+6xy+5y^{2}-8=0[/mm] (*)
>
> charakterisiert ein Objekt in der x-y-Ebene, möglicherweise
> einen Kegelschnitt! Stellen Sie dies fest u nd skizzieren
> Sie ggf. den Kegelschnitt. Verwenden Sie dazu die
> gebräuchliche Vorgehensweise
>
> 1. Ermittlung der in der Gleichung enthaltenen
> quatratischen Form und deren Erzeugung durch eine
> symmetrische Matrix A.
> 2. Bestimmung normierter Eigenvektoren zu dieser Matrix
> A.
> 3. Zusatzfrage an dieser Stelle: Wenn die Dimension des
> Eigenraumes zu einem Eigenwert gleich 1 ist, wieviel
> normierte Eigenvektoren gibt es dann zu diesem Eigenwert?
> 4. Bildung einer orthogonalen Transformationsmatrix T mit
> det(T)=1, spaltenweise aus den Eigenvektoren bestehend.
> Charakterisieren Sie die durch T dargestellte
> Transformation (geometrische Bedeutung)
> 5. Darstellung der Gleichung (*) in dem transformierten
> Koordinatensystem
> 6. Falls lineare Terme vorhanden sind, Elimination dieser
> Terme durch geeignete Koordinatentranslation.
> 7. Charakterisierung des Objektes über die Gleichung im
> transformierten System.
> 8. Skizze des Objektes im transformierten System, das
> zuglei im x-y-System dargestellt wird.
> Hi,
> ich verstehen von den Fragen einige nicht oder nur
> teilweise. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
>
> Zu 1: hab ich 8=(x y) [mm]\pmat{ 5 & 3 \\ 3 & 5 } \vektor{x \\ y}[/mm]
>
> müsste stimmen
>
> Zu 2: hab ich [mm]u=\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]v=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}=8[/mm] ; [mm]\lambda_{2}=2[/mm]
> müsste auch stimmen
>
> Zu 3: Das ist das erste Problem, versteh die Frage gar
> nicht richtig. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand
> auf die Sprünge helfen könnte...
Hallo,
Du hast für den Eigenwert 8 einen Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] berechnet.
Der Eigenraum zum Eigenwert 8 ist der von diesem Vektor aufgespannte Raum [mm] <\vektor{1 \\ 1}>.
[/mm]
Dieser Raum ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Nun überlege Dir, ob es hier nur einen Vektor der Länge 1 gibt.
>
> Zu 4: 2. Problem: meine Transformationsmatrix ist
> [mm]T=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 },[/mm] det(T) ist
> in diesem Fall -1. Ist das prinzipiell richtig und nur hier
> falsch, weil in der Aufgabenstellung explizit nach det(T)=1
> gefragt wurde.
Genau.
> Und könnte ich dann einfach die
> Eigenvektoren in T tauschen?
Gute Idee. Du nimmst als Basis statt (u,v) die Basis (v,u).
Eine andere Möglichkeit wird Dir schnell einfallen, wenn Dir bei der 3. ein Licht aufgegangen ist.
Bei der geometrischen
> Bedeutung seh ich auch nicht ganz durch und könnte etwas
> Hilfe gebrauchen...
Wenn Du Dir die Matrix genau anschaust (oder Dir eine Skizze machst, auf der Du die Einheitsvektoren und Ihr Bild aufmalst, siehst Du, daß es sich hierbei um eine Drehung handelt.
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> Zu 5: ok
>
> Zu 6: es sind kiene linearen Terme forhanden, richtig?
Ich sehe auch keine.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Fr 01.06.2007 | | Autor: | polyurie |
alles klar danke!!!!!!!!!!!!
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