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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Di 24.05.2005 | | Autor: | dave |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche eine Hauptachsentransformation folgender Gleichung durch zu führen.
[mm] x^{2}-2xy+2y^{2}=1
[/mm]
ich scheitere aber bereits beim Winkel [mm] \phi
[/mm]
ist es nicht so dass ich damit beginnen muss diesen Winkel zu bestimmen?
A [mm] \not=C \Rightarrow \phi=1/2*ARCTAN(2B/A-C)
[/mm]
dabei erhallte ich einen Winkel von 0.66 und nicht wie in der Lösung von 0.55
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Hallo,
> [mm]x^{2}-2xy+2y^{2}=1[/mm]
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> ich scheitere aber bereits beim Winkel [mm]\phi[/mm]
>
> ist es nicht so dass ich damit beginnen muss diesen Winkel
> zu bestimmen?
>
> A [mm]\not=C \Rightarrow \phi=1/2*ARCTAN(2B/A-C)[/mm]
>
> dabei erhallte ich einen Winkel von 0.66 und nicht wie in
> der Lösung von 0.55
offensichtlich hast Du hier für B = -2, A=1 und C = 2 gesetzt.
In der Formel heißt es aber 2B, demnach muß für B = -1 gesetzt werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 24.05.2005 | | Autor: | dave |
Besten Dank für die schnelle Hilfe aber ich verstehe nicht ganz wieso man B=1 setzen soll.
Ich habe ja als ausgangslage [mm] Ax^2+Bxy+Cy^2-F=0
[/mm]
und erhalte dadurch 1/2 arctan [mm] \bruch{2*(-2)}{1-2}
[/mm]
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Hallo!
Wenn ich nicht irre, müsste die Ausgangslage eigentlich [mm] $Ax^2+2Bxy+Cy^2-F=0$ [/mm] sein.
Woran liegt das? Du willst das Ganze ja durch eine symmetrische Matrix $M$ in der Form [mm] $(x,y)M\vektor{x\\y}-F=0$ [/mm] schreiben können, wobei [mm] $M=\pmat{A&B\\B&C}$...
[/mm]
Dann gilt [mm] $(x,y)M\vektor{x\\y}=(x,y)\pmat{A&B\\B&C}\vektor{x\\y}=(x,y)\vektor{Ax+By\\Bx+Cy}= Ax^2+Byx+Bxy+Cy^2=Ax^2+2Bxy+Cy^2$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 25.05.2005 | | Autor: | dave |
Hallo
Ich habe meinen erste Fehler gefunden. Es lag tatsächlich an der ausgangsgleichung mit 2B. Habe aber das wesentliche noch nicht verstanden.
Welches ist denn die verschiebung der Achsen. In meinenm Bsp. müsste das grosse Achse 3.2 und kleine Achse 1.2 sein. Muss dies mit einer Matrix berechnet werden? Ich habe davon keine ahnung.
Besten Dank für die Hilfe
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Hallo
> Welches ist denn die verschiebung der Achsen. In meinenm
> Bsp. müsste das grosse Achse 3.2 und kleine Achse 1.2 sein.
die Hälfte kommt eher hin:
[mm]\sqrt {\frac{{3\; + \;\sqrt 5 }}{2}} \; \approx \;1,618[/mm]
[mm]\sqrt {\frac{{3\; - \;\sqrt 5 }}{2}} \; \approx \;0,618[/mm]
> Muss dies mit einer Matrix berechnet werden? Ich habe davon
> keine ahnung.
die Achsen können mit einer Matrix berechnet werden. Und zwar benötigt man hier die Eigenwerte der Matrix A.
[mm]A\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & { - 1} \\
{ - 1} & 2 \\
\end{array}} \right)[/mm]
Um die Eigenwerte zu bestimmen bildet man [mm]\det \left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;[/mm], wobei
[mm]A\; - \;\lambda \;I\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{1\; - \;\lambda } & { - 1} \\
{ - 1} & {2\; - \;\lambda } \\
\end{array}} \right)[/mm]
Das charakteristische Polynom ist also [mm]\left( {1\; - \;\lambda } \right)\;\left( {2\; - \;\lambda } \right)\; - \;1[/mm]. Setzt man die Gleichung 0, so folgen dann die [mm]\lambda_{i}[/mm].
[mm]\lambda _{1,2} \; = \;\frac{{3\; \pm \;\sqrt 5 }}{2}[/mm].
Die transformierte Gleichung schreibt sich dann so:
[mm]\lambda _{1}^{2} \;x'^{2} \; + \;\lambda _{2}^{2} \;y'^{2} \; = \;1[/mm]
Ist man außerdem noch an der Transformationsmatrix T interessiert, so hat man zu dem Eigenwert [mm]\lambda_{i}[/mm], den zugehörigen Eigenvektor [mm]e_{i}[/mm] zu bestimmen.
Dies geschieht durch lösen der folgenden Gleichung:
[mm]\left( {A\; - \;\lambda _i \;I} \right)\;e_{i} \; = \;0[/mm]
Die Matrix T sieht dann so aus:
[mm]T\; = \;\left( {e_{1} ,\;e_{2} } \right)[/mm]
Die [mm]e_{i}[/mm] sind aus [mm]\IR_{2}[/mm].
Gruß
MathePower
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