Hauptachsentransformation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Nabend :)
Ich habe eine Frage zu obigem Thema. Und zwar: wozu braucht man die Hauptachsentransformation überhaupt.
Also wenn ich eine Quadrik gegeben habe, dann kann ich doch die zugehörige Matrix austellen, die Eigenwerte berechnen, was mir die Schnittpunkte mit den Hauptachsen gibt und die Eigenvektoren dazu berechnen, die die Hauptachsen sind. Damit hätt ich doch alles was ich brauche um die Quadrik zu zeichnen. So hatte ich das verstanden. Aber das macht das Thema Hauptachsentransformation bei mir überflüssig. Also welche Informationen kann ich nur aus der Hauptachsentransformation gewinnen und nicht woanders her?
Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
Kerstin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Die Hauptachsentransformation dient lediglich zur vereinfachten mathematischen Problemlösung bzw. zu einer einfacheren Darstellung. Das System ist ja noch das gleiche, einfach in anderen Basisvektoren. Mehr Information ist da nicht drin, aber für den Menschen besser verstehbar...
Hoffe habe deine Frage beantworten können.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke dir,
na dann kommt direkt die nächste Frage hinterher geschossen. In was für einem konkreten Beispiel muss ich denn die Hauptachsentransformation durchführen, außer es steht explizit da? Gibts da irgendwelche typischen Aufgabenstellungen?
Und dann noch eine Frage, das passt so gut hierher. Wenn ich eine Quadrik habe und diese Zeichnen will. Sagen wir eine Hyperbel. Dann sind doch die Hauptachsen die Eigenvektoren oder? Diese zeichne ich ein. Dann brauche ich aber noch einen Schnittpunkt der Hyperbel auf der x1 Achse um sie genauer zu beschreiben. In meinem Skript steht, dass a= [mm] \bruch{1}{\wurzel{lambda_{1}}} [/mm] und b = [mm] \bruch{1}{\wurzel{-lambda_{2}}} [/mm] lambda ist ein Eigenwert. Ein Komilitone meinte, dass das a, den Schnittpunkt auf der x1-Achse angibt und das b die Entfernung von diesem Schnittpunkt zur Hauptachse. Das hab ich jetzt mal nachgerechnet mit einem Beispiel. Und das kann definitiv nicht sein. Also hab ich da irgendwas falsch verstanden oder was falsches gesagt bekommen.
Wäre toll, wenn da auch nochmal einer nen Rat für mich hätte =)
Viele Grüße
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja die Hauptachsentransformation schafft übersicht! Computer können so schneller rechnen. Es ist allgemein so, dass wenn du eine Matrix A hast die irgendeine Abbildung beschreibt und du machst daraus eine Diagonalmatrix, so ist das doch sehr praktisch!
a ist die sogenannte reelle Halbachse
b ist die immaginäre Halbachse
Wenn du dir überlegst, dass die Eigenwerte in die Diagonale der Diagonalmatrix eingetragen werden (und du die Hyperbelgleichung kennst), merkst du wie man auf die Beziehung zwischen den Eigenwerten und a und b kommt.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Hm, also Hauptachsentransformation ist nur zur verschönerung oder zur Computerprogrammierung gut?
Bei der Hyperbel wüsst ich aber jetzt immernoch nicht konkret wie ich sowas zeichne.
Mal ein Beispiel:
folgende Quadrik: [mm] {x\in \IR^{2} | x^{2} + 4xy + y^{2}=1}
[/mm]
Jetzt würde ich die Eigenwerte der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } [/mm] . Es kommt raus erster Eigenwert -1. Zweiter Eigenwert 3. Also hab ich schonmal eine Hyperbel, da ein Eigenwert größer als null ist, der andere kleiner. Dann die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten. Es kommt zum -1 der Eigenvektor [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] und zum Eigenwert 3 der Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] raus. Diese Eigenvekoren würde ich nun in ein zweidimensionales Koordinatensystem als Geraden einzeichnen. Dann würde ich a und b bestimmen für a= 1 / [mm] \wurzel{3} [/mm] und b=1. Und damit hab ich zwei Asymptoten laut meinem skript x= +- [mm] \bruch{a}{b}*y [/mm] . Aber wenn ich die einzeichne und sich meine Hyperbel denen annähert wozu brauch ich dann überhaupt die Eigenvektoren? Und was gibt mir den Schnittpunkt der Hyperbel mit der x Achse? Also ich weiß nicht wie ich jetzt auf eine Zeichnung kommen soll. Muss ich überhaupt die Hauptachsentransformation irgendwo durchführen?
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
>
> folgende Quadrik: [mm]{x\in \IR^{2} | x^{2} + 4xy + y^{2}=1}[/mm]
Das ist keine Hyperbel! Das sieht man alleine daran, dass x und y nicht beliebig gross werden können, was sie bei einer Hyperbel tun. Google mal nach der Hyperbelgleichung...
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
In meinem Skript steht:
erster Eigenwert größer null und zweiter kleiner null, dann ist es eine Hyperbel. Jetzt krieg ich grad Angst...
Hier ist auch ein Beispiel angeben, mit dem einzigen Unterschied, dass der Koeffizient von xy 6 ist und hier steht definitiv drunter: Es liegt eine Hyperbel vor.
P.S.: Google hat nicht geholfen. Die Hyperbelgleichungen, die ich gefunden habe, lagen in anderer Form vor und mir gehts ja gerade darum ob ich diese Form überhaupt wissen muss, um das Teil zeichnen zu können.
Danke dir für deine Mühe!
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Tut mir sehr leid, du hast natürlich recht! Ich habe mir das falsch vorgestellt. Es ist eine Hyperbel. Denn x oder y kann ja negative Werte annehmen und somit ist 4*x*y kleiner Null...
Also. A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }. [/mm] Du erhälst die Eigenwerte -1 und 3. Richtig. Deine Eigenvektoren sind ebenfalls richtig.
Jetzt kannst du schreiben:
A = [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }*\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 3 }*\pmat{ -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 } [/mm] = [mm] T*D*T^{-1}
[/mm]
Das bedeutet soviel, wie dass du deine Matrix A in der Eigenbasis auch mit D ausdrücken kannst. Die Hyperbelgleichung in der neuen Basis lautet jetzt also [mm] -x^{2} [/mm] + [mm] 3*y^{2} [/mm] = 1. Jetzt kannst du a und b praktisch ablesen.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Puh, nochmal Schwein gehabt :)
Aber wozu denn die Transformation? Wenn ich die Eigenwerte habe, kann ich doch a und b ganz leicht bestimmen. Das geht doch viel schneller als Matrixmultiplikation. Ich kann doch die "normale" Hyperbelgleichung sofort aufstellen.
Und zum Zeichnen: Des weiß ich immer noch net, wie des geht =)
Also was zeichne ich ein, so dass ich die Hyperbel skizzieren kann?
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> Puh, nochmal Schwein gehabt :)
>
> Aber wozu denn die Transformation?
Ja das war nur eine Demonstration fürs Verständnis:p.
Wenn ich die Eigenwerte
> habe, kann ich doch a und b ganz leicht bestimmen.
Ja.
Das geht
> doch viel schneller als Matrixmultiplikation. Ich kann doch
> die "normale" Hyperbelgleichung sofort aufstellen.
Ja.
>
> Und zum Zeichnen: Des weiß ich immer noch net, wie des
> geht =)
> Also was zeichne ich ein, so dass ich die Hyperbel
> skizzieren kann?
Was du wissen musst um sie zu skizzieren:
1. Hauptachse
2. a
3. b
Also: Welcher Eigenvektor stellt die Hauptachse dar? (Dazu musst du dich fragen welcher Eigenwert wohl für a und welcher für b ist und somit ist der Eigenvektor welcher zu a gehört auch die Hauptachse)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Hmm, ich dachte es gibt immer zwei Hauptachsen?
Und wozu brauch ich die Asymptoten?
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Die Asymptoten sind doch durch a und b gegeben.
Wozu du die brauchst? Naja dann weisst du ungefär wie einzeichnen...
Schau doch ma hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)
qsxqsx; )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Also sind die Asymptoten die zwei Achsen, die einzeichne, gegen die sich die Hyperbel annähert. Und was stellen dann die Hauptachsen da? Ich versteh das nicht....
Bei wiki das versteh ich noch viel weniger. :(
Sorry, das ich mich so dämlich anstelle... bin verwirrt...
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> Also sind die Asymptoten die zwei Achsen, die einzeichne,
> gegen die sich die Hyperbel annähert.
Ja.
Und was stellen dann
> die Hauptachsen da?
Die Hauptachse ist diejenige, auf welcher die Strecke a und auch die zwei Brennpunkte liegen.
> Bei wiki das versteh ich noch viel weniger. :(
Ja ist wirklich schlecht geschrieben...
Sosooo...jetzt hast dus ja dann aber geschaft!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
aso, das heißt dann einfach, dass ich die hauptachse zum zeichnen auch nicht brauche?
Das Kochrezept ist dann einfach:
Eigenwerte berechnen, Typ der Quadrik bestimmen, ist es eine Hyperbel, dann Asymptoten bestimmen einzeichnen. a ist der Schnittpunkt der Hyperbel mit der x-Achse.
Richtig so?
*bibber* =D
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> aso, das heißt dann einfach, dass ich die hauptachse zum
> zeichnen auch nicht brauche?
Doch, die wäre schon noch praktisch: Darauf kannst du a abtragen.
>
> Das Kochrezept ist dann einfach:
>
> Eigenwerte berechnen, Typ der Quadrik bestimmen, ist es
> eine Hyperbel, dann Asymptoten bestimmen einzeichnen. a ist
> der Schnittpunkt der Hyperbel mit der x-Achse.
>
> Richtig so?
>
Haha mmmh..faaast: a ist der Schnittpunkt der Hyperbel mit der Hauptachse bzw. dem Eigenvektor der die Hauptachse repräsentiert.
.......
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Irgendetwas stimmt da aber noch nicht.
Wenn ich mein Beispiel von oben nehme und diese Hyperbel zeichnen will. dann würde ich jetzt die Asymptoten einzeichnen
in mein x-y- Koordinatensystem. einmal y= [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}x [/mm] und einmal y= - [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
Die hauptachse ist Menge der Eigenvektoren zu lambda = 3 also die Gerade s* [mm] \vektor{1 \\ 1}. [/mm] Den zeichne ich auch ein. Jetzt soll ich die Länge a auf der Hauptachse auftragen? das ergibt für mich irgendwie keine gescheite zeichnung... dann müsste die Hyperbel ja durch die Asymptote hindurch gehen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 30.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja du sollst ja im Prinzip nur die Transformierte Hyperbel zeichnen? Dann ist es ganz einfach. Hier ein Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Supi, habs gecheckt :D
Supaaaaaaaafettesdankeschön =)
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 31.07.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
die Eigenvektoren sind (0,1) und (1,0) . In der Zeichnung sind die Eigenvektoren jedoch als (1,1) und (-1,1) dargestellt. Oder?
Wo kann man die Asymptoten in der Zeichnung ablesen und wozu braucht man b (a ist der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der beiden Hauptachsen und dem Brennpunkt) ?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 So 31.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
> die Eigenvektoren sind (0,1) und (1,0) . In der Zeichnung
> sind die Eigenvektoren jedoch als (1,1) und (-1,1)
> dargestellt. Oder?
NEIN. Die Eigenvektoren sind (1,1) und (-1,1). Rechne es nach.
>
> Wo kann man die Asymptoten in der Zeichnung ablesen und
> wozu braucht man b (a ist der Abstand zwischen dem
> Schnittpunkt der beiden Hauptachsen und dem Brennpunkt) ?
b ist da um die Steigung der Asymptoten zu erhalten. Liess dir alles nochmals sorgfälltig durch, es steht in der Diskussion.
Gruss
|
|
|
|
