Hauptachsentransformation < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Transformieren Sie die pDGL [mm] u_{xx}+4u_{xy}-5u_{yy}=0 [/mm] mit [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] in Normalform. |
Der erste Schritt ist die durchführung der Hauptachsentransformation und dann folgt eine zweite Transformation.
Die pDGL kann man auch als [mm] \summe_{i,j=1}^{2}(a_{ij}u_{x_{i}x_{j}})=0 [/mm] schreiben mit [mm] a_{ij}=a_{ji}
[/mm]
Sei [mm] A=(a_{ij})
[/mm]
[mm] A=\pmat{ a_{11}=1 & a_{12}=2 \\ a_{21}=2 & a_{22}=-5 }=const\not=0 [/mm] ist eine symmetrische Matrix.
nun bestimmt man die Eigenwerte von A
[mm] det(A-\lambda*E)=\lambda^{2}+4\lambda-9=(\lambda-1/2)(\lambda+9/2)=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=1/2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-9/2
[/mm]
Nun definiert man eine orthogonale Matrix [mm] S\in\IR^{(2,2)} [/mm] aus Eigenvektoren von A mit det(S)=1 und [mm] S^{T}*A*S=diag(\lambda_{1},\lambda_{2})
[/mm]
Ich habe gelesen, dass man so vorgeht, wenn die Koeffizienten von A konstant sind. Mit der Matrix S definiert man schließlich die neuen Variablen für die Transformation.
Wie sieht diese Matrix S in meinem Fall aus? Sind die Eigenvektoren von A nicht beide 0?
Vielen Dank für eure Mühe!
MfG
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Di 19.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf EV 0, der 0 Vektor ist immer auch ein (trivialer und uninteressanter EV.
ich seh gerade deine Eigenwerte sind falsch.
Gruss leduart
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Ja das stimmt. Die richtigen Eigenwerte sind:
[mm] det(A-\lambda*E)=\lambda^{2}+4\lambda-9=(\lambda-(\wurzel{13}-2))(\lambda+(\wurzel{13}+2))=0
[/mm]
Also ist [mm] \lambda_{1}=\wurzel{13}-2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-(\wurzel{13}+2)
[/mm]
aber irgendwie steht ich gerade bei den Eigenvektoren auf dem Schlauch, da komm ich nur auf solche Sachen wie [mm] 2x_{1}-2x_{1}=0
[/mm]
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Hallo Approximus,
> Ja das stimmt. Die richtigen Eigenwerte sind:
>
> [mm]det(A-\lambda*E)=\lambda^{2}+4\lambda-9=(\lambda-(\wurzel{13}-2))(\lambda+(\wurzel{13}+2))=0[/mm]
>
> Also ist [mm]\lambda_{1}=\wurzel{13}-2[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=-(\wurzel{13}+2)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber irgendwie steht ich gerade bei den Eigenvektoren auf
> dem Schlauch, da komm ich nur auf solche Sachen wie
> [mm]2x_{1}-2x_{1}=0[/mm]
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Aus [mm] (A-\lambda*E)*\nu_{1}=0 [/mm] ergibt sich das Gleichungssystem
[mm] (1-\wurzel{13}+2)x_{1}+2y_{1}=0
[/mm]
[mm] 2x_{1}+(-5-\wurzel{13}+2)y_{1}=0
[/mm]
Stellt man erste Gleichung nach [mm] y_{1} [/mm] um folgt
[mm] y_{1}=(-1/2)(1-\wurzel{13}+2)x_{1}
[/mm]
einsetzen in Gleichung 2 liefert
[mm] 2x_{1}+(-5-\wurzel{13}+2)(-1/2)(1-\wurzel{13}+2)x_{1}=2x_{1}-2x_{1}=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 20.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit hast du doch alle EV mit [mm] r*\vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
mit einem EV sind auch immer seine vielfachen EV
denn aus Ax=x folgt Arx=rx
Gruss leduart
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