Hauptideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Do 09.10.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass K[x] ein Hauptidealbereich ist. |
Ich habe bereits gezeigt, dass K[x] kommutativ und ein Integritätsbereich ist. Nun muss ich noch zeigen, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Es gilt ja:
I [mm] \subset \IZ [/mm] Ideal, dann [mm] \exists! [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] mit I = (n) = [mm] n*\IZ.
[/mm]
Der Beweis dieser Aussage ist in in etwa klar. Die Idee ist, dass man das kleinste positive Element n aus I wählt und dann zeigt, dass r= |x| - q*n = 0 [mm] \in [/mm] I mit x [mm] \in [/mm] I.
Ich denke, dass man bei dieser Aufgabe analog vorgehen könnte.
Aber dann z.B. mit dem Grad arbeiten würde.
Doch wie könnte ich damit am besten beginnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Do 09.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass K[x] ein
> Hauptidealbereich ist.
> Ich habe bereits gezeigt, dass K[x] kommutativ und ein
> Integritätsbereich ist. Nun muss ich noch zeigen, dass
> jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Mit K[x] ist der Polynomring gemeint?
>
> Es gilt ja:
>
> I [mm]\subset \IZ[/mm] Ideal, dann [mm]\exists![/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm] mit I =
> (n) = [mm]n*\IZ.[/mm]
> Der Beweis dieser Aussage ist in in etwa klar. Die Idee
> ist, dass man das kleinste positive Element n aus I wählt
> und dann zeigt, dass r= |x| - q*n = 0 [mm]\in[/mm] I mit x [mm]\in[/mm] I.
>
> Ich denke, dass man bei dieser Aufgabe analog vorgehen
> könnte.
> Aber dann z.B. mit dem Grad arbeiten würde.
> Doch wie könnte ich damit am besten beginnen?
Wenn du es schon so machen willst, dann zeige doch einfach gleich, dass K[x] ein ![[]](/images/popup.gif) euklidischer Ring ist.
Je nachdem wie weit ihr in der VL seit, musst du dann noch zeigen, dass jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 09.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> I [mm]\subset \IZ[/mm] Ideal, dann [mm]\exists![/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm] mit I =
> (n) = [mm]n*\IZ.[/mm]
> Der Beweis dieser Aussage ist in in etwa klar. Die Idee
> ist, dass man das kleinste positive Element n aus I wählt
> und dann zeigt, dass r= |x| - q*n = 0 [mm]\in[/mm] I mit x [mm]\in[/mm] I.
>
> Ich denke, dass man bei dieser Aufgabe analog vorgehen
> könnte.
> Aber dann z.B. mit dem Grad arbeiten würde.
> Doch wie könnte ich damit am besten beginnen?
du kannst wirklich analog zum beweis für die ganzen zahlen vorgehen: sei $I [mm] \not= [/mm] 0$ ein ideal in $K[x]$ und sei $f [mm] \in [/mm] I [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] ein element minimalen grades, zeige dann, dass $I = (f)$ gilt, indem du für ein $g [mm] \in [/mm] I$ einfach polynomdivision durchführst (dazu musst du natürlich im prinzip wissen, dass du einen divisionsalgorithmus hast, womit schon gezeigt wäre, dass $K[x]$ ein euklidischer ring ist).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 10.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Ja genau, mit Hilfe des Divisionsalgorithmus Wikipedia gings dann ganz einfach.
Weiter muss nun noch gezeigt werden, dass [mm] \IZ[x] [/mm] kein Hauptidealbereich ist. (@merle: Ja mit K[x] ist der Polynomring gemeint.)
Als Hinweis steht, man solle (2,x) betrachten.
(2,x) ist doch [mm] \{(k + 2\IZ) + a_1x + ... + a_nx^n | a_i \in \IZ , n \in \IN_0 \}. [/mm] Liege ich da richtig?
Nun sollte man wahrscheinlich zeigen, dass (2,x) kein Hauptideal ist.
Ich muss nun also zeigen, dass (2,x) nicht das ganze Ideal erzeugt.
Wie wärs, wenn ich z.B. nun ein Element n aus [mm] \IZ[x] [/mm] nehme, diese an (2,x) "dranmultipliziere" und zeige, dass das Produkt wieder nur in (2,x) liegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Weiter muss nun noch gezeigt werden, dass [mm]\IZ[x][/mm] kein Hauptidealbereich ist.
> Als Hinweis steht, man solle (2,x) betrachten.
> (2,x) ist doch [mm]\{(k + 2\IZ) + a_1x + ... + a_nx^n | a_i \in \IZ , n \in \IN_0 \}.[/mm]
> Liege ich da richtig?
Nicht ganz, denn du stellst an k keine weiteren Bedingungen. In dem Ideal (2,x) sind aber nur Polynome mit geradem Absolutglied enthalten.
> Nun sollte man wahrscheinlich zeigen, dass (2,x) kein Hauptideal ist.
Richtig.
> Ich muss nun also zeigen, dass (2,x) nicht das ganze Ideal erzeugt.
Hier wirfst du was durcheinander. Welches Ideal soll von (2,x) denn nicht erzeugt werden?
> Wie wärs, wenn ich z.B. nun ein Element n aus [mm]\IZ[x][/mm] nehme, diese an (2,x) "dranmultipliziere" und zeige, dass das Produkt wieder nur in (2,x) liegt?
Ein Ideal ist doch schon von Definition aus abgeschlossen unter Multiplikation mit Ringelementen.
Ich glaube du hast nicht so ganz verstanden was ein Ideal ist. Versuche zu verstehen wieso das Ideal [mm](2,x) \subset \IZ[x][/mm] die Menge aller Polynome mit geradem Absolutglied ist.
Dann schau dir nochmal die Definition von Hauptideal an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Fr 10.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo
> > Weiter muss nun noch gezeigt werden, dass [mm]\IZ[x][/mm] kein
> Hauptidealbereich ist.
> > Als Hinweis steht, man solle (2,x) betrachten.
>
> > (2,x) ist doch [mm]\{(k + 2\IZ) + a_1x + ... + a_nx^n | a_i \in \IZ , n \in \IN_0 \}.[/mm]
> > Liege ich da richtig?
>
> Nicht ganz, denn du stellst an k keine weiteren
> Bedingungen. In dem Ideal (2,x) sind aber nur Polynome mit
> geradem Absolutglied enthalten.
>
> > Nun sollte man wahrscheinlich zeigen, dass (2,x) kein
> Hauptideal ist.
>
> Richtig.
>
> > Ich muss nun also zeigen, dass (2,x) nicht das ganze Ideal
> erzeugt.
>
> Hier wirfst du was durcheinander. Welches Ideal soll von
> (2,x) denn nicht erzeugt werden?
>
> > Wie wärs, wenn ich z.B. nun ein Element n aus [mm]\IZ[x][/mm]
> nehme, diese an (2,x) "dranmultipliziere" und zeige, dass
> das Produkt wieder nur in (2,x) liegt?
>
> Ein Ideal ist doch schon von Definition aus abgeschlossen
> unter Multiplikation mit Ringelementen.
>
Nein, ich denke die Definition der Ideale habe ich verstanden. Habe hier nur gerade einen Denkfehler gemacht.
> Ich glaube du hast nicht so ganz verstanden was ein Ideal
> ist. Versuche zu verstehen wieso das Ideal [mm](2,x) \subset \IZ[x][/mm]
> die Menge aller Polynome mit geradem Absolutglied ist.
> Dann schau dir nochmal die Definition von Hauptideal an.
(2,x) sind doch einfach per Definition die Polynome mit geradem Absolutglied, oder? Da gibts doch nichts mehr zu verstehen, oder liege ich nun ganz falsch?
Aber irgendwie sehe ich trotzdem immer noch nicht ganz, wie ich nun an die Aufgabe herangehen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Nein, ich denke die Definition der Ideale habe ich verstanden.
Um so besser ^^
> (2,x) sind doch einfach per Definition die Polynome mit geradem Absolutglied, oder? Da gibts doch nichts mehr zu verstehen, oder liege ich nun ganz falsch?
Ja was heisst per Definition... per Definition wäre [mm](2,X) = 2*\IZ[X] + X*\IZ[X][/mm]. Das das gerade alle Polynome mit gradem Absolutglied sind, dafür muss man erstmal schon n bissl nachdenken.
> Aber irgendwie sehe ich trotzdem immer noch nicht ganz, wie ich nun an die Aufgabe herangehen kann...
Möglich wäre ein Widerspruchsbeweis. Also nimm an, dass es ein Polynom [mm]p \in \IZ[X][/mm] gibt, so dass [mm](2,X) = (p)[/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 10.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
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> Möglich wäre ein Widerspruchsbeweis. Also nimm an, dass es
> ein Polynom [mm]p \in \IZ[X][/mm] gibt, so dass [mm](2,X) = (p)[/mm] gilt.
Also, ich bin dann folgendermassen vorgegangen:
Behauptung: (2,x) ist kein Hauptideal.
Gegenannahme: [mm] \exists [/mm] Polynome p [mm] \in \IZ[x], [/mm] so dass (2,x) = (p).
(2,x) = (p) = R*p = {r*p | r [mm] \in \IZ[x]}
[/mm]
[mm] (r_0 [/mm] + r_1x + ... + r_nx) * [mm] (p_0 [/mm] + p_1x + ... + [mm] p_nx^n) [/mm] = [mm] r_0*p_0 [/mm] + "Rest".
Das heisst also, dass [mm] r_0*p_0 [/mm] für alle r und all p aus [mm] \IZ [/mm] durch 2 teilbar sein muss. Was sicher nicht sein kann.
Könnte ich dies so zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Behauptung: (2,x) ist kein Hauptideal.
> Gegenannahme: [mm]\exists p \in \IZ[X][/mm], so dass (2,x) = (p).
>
> [mm](2,x) = (p) = R*p = \{r*p | r \in \IZ[x]\}[/mm]
>
> [mm](r_0 + r_1x + ... + r_nx^n) * (p_0 + p_1x + ... + p_nx^n) = r_0*p_0[/mm] + "Rest".
>
> Das heisst also, dass [mm]r_0*p_0[/mm] für alle r und alle p aus [mm]\IZ[/mm] durch 2 teilbar sein muss. Was sicher nicht sein kann.
r und p sind doch aus [mm] \IZ[X]. [/mm] Und p ist festgelegt. Wenn du für p z.B. 2+X wählst, dann haben alle Polynome aus (p) ein gerades Absolutglied.
edit: Soweit ich das sehe gilt aber dann auch: [mm]X \not\in (2+X)[/mm], oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Fr 10.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> > Behauptung: (2,x) ist kein Hauptideal.
> > Gegenannahme: [mm]\exists p \in \IZ[X][/mm], so dass (2,x) =
> (p).
> >
> > [mm](2,x) = (p) = R*p = \{r*p | r \in \IZ[x]\}[/mm]
> >
> > [mm](r_0 + r_1x + ... + r_nx^n) * (p_0 + p_1x + ... + p_nx^n) = r_0*p_0[/mm] + "Rest".
> >
> > Das heisst also, dass [mm]r_0*p_0[/mm] für alle r und alle p aus [mm]\IZ[/mm]
> durch 2 teilbar sein muss. Was sicher nicht sein kann.
>
> r und p sind doch aus [mm]\IZ[X].[/mm] Und p ist festgelegt. Wenn du
> für p z.B. 2+X wählst, dann haben alle Polynome aus (p) ein
> gerades Absolutglied.
Ja, p ist festgelegt, da muss ich mich korrigieren.
Aber [mm] r_0 [/mm] und [mm] p_0 [/mm] sind doch Elemente aus [mm] \IZ. [/mm] Diese sind ja dann die Konstantkoeffizienten des Polynoms. Also sind sie nicht Elemente aus [mm] \IZ[x] [/mm] sonder aus [mm] \IZ. [/mm] Ich habs vorhin nur gerade ein wenig unglücklich hingeschrieben.
Oder mache ich ein komplettes Durcheinander?
>
> edit: Soweit ich das sehe gilt aber dann auch: [mm]X \not\in (2+X)[/mm],
> oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ja, p ist festgelegt, da muss ich mich korrigieren.
> Aber [mm]r_0[/mm] und [mm]p_0[/mm] sind doch Elemente aus [mm]\IZ.[/mm] Diese sind ja dann die Konstantkoeffizienten des Polynoms. Also sind sie nicht Elemente aus [mm]\IZ[x][/mm] sonder aus [mm]\IZ.[/mm] Ich habs vorhin nur gerade ein wenig unglücklich hingeschrieben.
> Oder mache ich ein komplettes Durcheinander?
Also so wie es jetzt da steht ist es richtig. Aber einer Lösung bringt es uns nicht näher.
Ok, also angenommen [mm](2,X) = (p)[/mm]. Dann muss es [mm]q, r \in \IZX[/mm] geben mit [mm]pq = 2[/mm] und [mm]pr = X[/mm] (wieso?).
Daraus kannst du jetzt einen Widerspruch ableiten, dazu musst du unter anderem den Grad der Polynome betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 11.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Aber weshalb war denn meine Idee nicht korrekt? :
> Behauptung: (2,x) ist kein Hauptideal.
> Gegenannahme: [mm] \exists [/mm] Polynom p [mm] \in \IZ[x] [/mm] so dass (2,x)
> = (p).
>
> (2,x) = (p) = R*p = {r*p | r [mm] \in \IZ\}
[/mm]
>
> [mm](r_0[/mm] + [mm] r_{1}x [/mm] + ... + [mm] r_{n}x) [/mm] * [mm](p_0[/mm] + p_1x + ... + [mm]p_nx^n)[/mm] =
> [mm]r_0*p_0[/mm] + "Rest".
>
> Das heisst also, dass [mm]r_0*p_0[/mm] für alle [mm] r_0 [/mm] aus [mm]\IZ[/mm]
> durch 2 teilbar sein muss. Was sicher nicht sein kann.
> Könnte ich dies so zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Aber weshalb war denn meine Idee nicht korrekt? :
>
> > Behauptung: (2,x) ist kein Hauptideal.
> > Gegenannahme: [mm]\exists[/mm] Polynom p [mm]\in \IZ[x][/mm] so dass
> (2,x)
> > = (p).
> >
> > [mm](2,x) = (p) = R*p = \{r*p | r \in \IZ\}[/mm]
> >
> > [mm](r_0[/mm] + [mm]r_{1}x[/mm] + ... + [mm]r_{n}x)[/mm] * [mm](p_0[/mm] + p_1x + ... + [mm]p_nx^n)[/mm]
> =
> > [mm]r_0*p_0[/mm] + "Rest".
> >
> > Das heisst also, dass [mm]r_0*p_0[/mm] für alle [mm]r_0[/mm] aus [mm]\IZ[/mm]
> > durch 2 teilbar sein muss. Was sicher nicht sein kann.
> > Könnte ich dies so zeigen?
>
Ja ich hab dir doch das Gegenbeispiel genannt. Wenn du für p 2+X nimmst, dann ist [mm] r_0*p_0=r_0*2 [/mm] für alle [mm] r_0 [/mm] durch zwei teilbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 11.10.2008 | | Autor: | jokerose |
ah ja genau.
also nun hätte ich z.B. an den Satz "Division mit Rest" für Polynome gedacht.
Da muss ich dann den Grad von r und von q miteinander vergleichen.
Bin ich da nun auf dem richtigen Weg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 So 12.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn [mm]pq = 2[/mm] gelten soll, welchen Grad können dann p und q maximal haben?
(Das geht aber nur deswegen hier, weil [mm] \IZ[X] [/mm] ein Integritätsring ist)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 13.10.2008 | | Autor: | jokerose |
> Wenn [mm]pq = 2[/mm] gelten soll, welchen Grad können dann p und q
> maximal haben?
>
> (Das geht aber nur deswegen hier, weil [mm]\IZ[X][/mm] ein
> Integritätsring ist)
Weil [mm] \IZ[x] [/mm] in IB ist, gilt:
grad(p*q) = grad(p)*grad(q).
Also muss grad(p) = 0 und grad(q) = 0.
Weiter gilt ja p*r = x, grad(x) = 1, grad(p) = 0, also grad(r) = 1.
Bis dahin bin ich nun gekommen. Wie muss ich nun genau noch weiterfahren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > Wenn [mm]pq = 2[/mm] gelten soll, welchen Grad können dann p und q maximal haben?
> >
> > (Das geht aber nur deswegen hier, weil [mm]\IZ[X][/mm] ein Integritätsring ist)
>
>
> Weil [mm]\IZ[x][/mm] in IB ist, gilt:
>
> grad(p*q) = grad(p)*grad(q).
Was ist [mm] \IB? [/mm] Ich wollte darauf hinaus, dass [mm] \IZ[X] [/mm] ein Integritätsring ist, weil [mm] \IZ [/mm] einer ist. Vielleicht meinst du mit [mm] \IB [/mm] ja dasselbe.
>
> Also muss grad(p) = 0 und grad(q) = 0.
>
Richtig. Wir können aber aus pq=2 noch mehr folgern. Wir können nämlich genau sagen, was p und was q ist (bedenke, dass (p) nicht der gesamte Ring [mm] \IZ[X] [/mm] sein soll).
> Weiter gilt ja p*r = x, grad(x) = 1, grad(p) = 0, also grad(r) = 1.
Zusammen mit dem Wissen, was p genau ist, kannst du jetzt hier einen Widerspruch erzeugen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Mo 13.10.2008 | | Autor: | jokerose |
> > > Wenn [mm]pq = 2[/mm] gelten soll, welchen Grad können dann p und q
> maximal haben?
> > >
> > > (Das geht aber nur deswegen hier, weil [mm]\IZ[X][/mm] ein
> Integritätsring ist)
> >
> >
> > Weil [mm]\IZ[x][/mm] in IB ist, gilt:
> >
> > grad(p*q) = grad(p)*grad(q).
>
> Was ist [mm]\IB?[/mm] Ich wollte darauf hinaus, dass [mm]\IZ[X][/mm] ein
> Integritätsring ist, weil [mm]\IZ[/mm] einer ist. Vielleicht meinst
> du mit [mm]\IB[/mm] ja dasselbe.
>
Ja genau, mit I.B. meine ich Integritätsbereich.
> >
> > Also muss grad(p) = 0 und grad(q) = 0.
> >
>
> Richtig. Wir können aber aus pq=2 noch mehr folgern. Wir
> können nämlich genau sagen, was p und was q ist (bedenke,
> dass (p) nicht der gesamte Ring [mm]\IZ[X][/mm] sein soll).
>
> > Weiter gilt ja p*r = x, grad(x) = 1, grad(p) = 0, also
> grad(r) = 1.
>
> Zusammen mit dem Wissen, was p genau ist, kannst du jetzt
> hier einen Widerspruch erzeugen.
also, da grad(p) = 0 ist, ist p einfach eine ganze Zahl. q ebenso.
wenn ich nun zeigen kann, dass p [mm] \in U(\IZ[x]) [/mm] ist habe ich einen Widerspruch. Denn wenn ein Ideal eine Einheit hat, dann ist das Ideal gleich dem ganzen Körper.
Aber wie kann p eine Einheit haben, wenn p eine ganze Zahl ist?
d.h. p*c = 1 , c [mm] \in \IZ[x]....?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du hast pq=2 mit p und q ganze Zahlen.
Also kommen nur die Möglichkeiten (p=1 und q=2) und (p=2 und q=1) in Frage (wir lassen mal oBdA die negativen Zahlen raus).
Falls p=1, dann folgt [mm] (p)=\IZ[X], [/mm] was wir aber nicht wollen. Also ist p=2.
Jetzt kommt aber bei pr=X der Widerspruch, da das nicht möglich ist mit p=2.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Di 14.10.2008 | | Autor: | jokerose |
So, damit hätte ichs nun also auch gerafft. Vielen Dank für deine Geduld.
grüsse jokerose
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