Hauptideale in Z[X] < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Fr 15.04.2011 | | Autor: | adam18 |
| Aufgabe | Betrachten Sie im Ring Z[X] die Ideale I und J gegeben
durch I := (X + 2) + (X + 3) und J := (X) + (2)
Zeigen Sie, dass I ein Hauptideal ist, J jedoch nicht.
Hinweis: Sind 2 und X Vielfache desselben ganzzahligen Polynoms f, so gilt
f = [mm] \pm1. [/mm] |
Hallo Mathematiker,
Ich habe dringend eine Frage bzgl. Hauptideale.
Meine Frage: Die Schreibweise J := (X) + (2) ist gleich I:=(X,2) oder nicht?
ich kann ja zeigen, dass J kein Hauptideal, da ggt(X,2)=1 ist und 1 [mm] \not\in [/mm] (X,2)
Aber ich habe keine Ahnung wie ich zeigen kann dass I ein Hauptideal ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Fr 15.04.2011 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachten Sie im Ring Z[X] die Ideale I und J gegeben
> durch I := (X + 2) + (X + 3) und J := (X) + (2)
> Zeigen Sie, dass I ein Hauptideal ist, J jedoch nicht.
>
> Hinweis: Sind 2 und X Vielfache desselben ganzzahligen
> Polynoms f, so gilt
> f = [mm]\pm1.[/mm]
> Hallo Mathematiker,
> Ich habe dringend eine Frage bzgl. Hauptideale.
>
> Meine Frage: Die Schreibweise J := (X) + (2) ist gleich
> I:=(X,2) oder nicht?
Ja. Genauer: Die Schreibweise ist natürlich unterschiedlich, aber die Mengen/Ideale sind gleich.
> ich kann ja zeigen, dass J kein Hauptideal, da ggt(X,2)=1
> ist und 1 [mm]\not\in[/mm] (X,2)
>
> Aber ich habe keine Ahnung wie ich zeigen kann dass I ein
> Hauptideal ist.
Stell doch mal die gleiche Überlegung an wie im anderen Fall: Was ist der ggt ... und was ist dann aber weiter der Fall?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:40 Fr 15.04.2011 | | Autor: | adam18 |
Danke für deine Antwort,
per Euklidschem Algorithmus, gilt:
(X+3) = 1.(X+2)+1
(X+2) = 1.(X+2)+0
also ggt((X+2),(X+3))= 1?
ich glaube hier geht etwas schief
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 17.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Fr 15.04.2011 | | Autor: | adam18 |
Hallo Leute,
Ich habe mir folgende Lösung gedacht,
ggt((X+2),(X+3))=1
1 = a.(X+2)+b.(X+3)
= aX+2a+bX+3b
= (a+b)X+2a+3b
wir setzen a+b=0
1 = 2(-b)+3b
1 = 1b
b = 1
da [mm] 1\in [/mm] ggt((X+2),(X+3)), dann J ist ein Hauptideal
stimmt das oder nicht?
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