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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Fr 08.03.2013 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie ob [mm] \IZ[\wurzel{-19}] = \{m+n \wurzel{-19} | m,n \in \IZ \}[/mm] ein Hauptidealring ist. |
Hallo Leute,
ich habe zu dieser Aufgabe ebenfalls eine Musterlösung, allerdings verstehe ich hier einige Schritte nicht. Ich werde die Lösung kommentieren und hoffe, dass ihr mir helfen könnt :)
In [mm] \IZ [\wurzel{-19}] [/mm] ist 2 irreduzibel:
( hier fehlt mir, wieso ich die 2 betrachten muss, würde das dann auch z.B. für [mm] \IZ [\wurzel{-5}] [/mm] gelten? )
Sei [mm] r = r_1+r_2 \wurzel{-19} ~\text{und}~ s = s_1+s_2 \wurzel{-19} [/mm], sodass rs=2.
Mit der Normabbildung [mm] N(x+y \wurzel{-19}) = x^2+19y^2, ~\text{folgt}~ (r_1^2+19r_2^2)(s_1^2+19s_2^2)=4 ~\text{und}~ r_2=s_2=0 [/mm]. Daraus folgt [mm] r= \pm 1 ~\text{oder}~ s= \pm 1 [/mm]. Deshalb ist 2 irreduzibel.
( Hier verstehe ich den letzten Schritt nicht, wie man auf die [mm] \pm 1 [/mm] kommt. Dass [mm] r_2=s_2=0 [/mm] gilt, ist mir klar, da sonst die Gleichung der Normabbildung nicht gelten kann. Und wie folgert man daraus, dass 2 irreduzibel ist? Weil rs=2 und wenn r oder s gleich 1 ist, gibt es keinen anderen Teiler, oder wie ist das zu verstehen? )
Dann wird gezeigt, dass 2 in [mm] \IZ [\wurzel{-19}] [/mm] nicht prim ist:
es gilt [mm] 2*10 = (1+\wurzel{-19})(1- \wurzel{-19}) [/mm] und daraus kann man folgern, dass 2 die gesamte rechte Seite teilt, aber nicht die einzelnen Faktoren, da [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{-19}}{2} \not\in \IZ [\wurzel{-19}] [/mm].
Damit ist [mm] \IZ [\wurzel{-19}] [/mm] nicht faktoriell und somit kein Hauptidealring.
( Wieso muss ich zeigen, dass die 2 auch nicht prim ist?! Ich kann die Schritte schon nachvollziehen, aber leider fehlt mir die Begründung dazu. )
Kann man diese Vorgehensweise immer so machen, also auch wenn ich jetzt z.B. [mm] \IZ [\wurzel{-5}] [/mm] betrachte oder gibt es da nach einen anderen Weg?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, vielen Dank schonmal.
Viele Grüße,
Katthi
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Hallo,
die grundlegende Idee scheint hier zu sein:
Ein HIR ist faktoriell, also sind alle irreduziblen Elemente auch prim.
Um zu zeigen, dass der Ring kein HIR ist suchen wir ein Element (hier: 2) dass irreduzibel aber nicht prim ist
> hier fehlt mir, wieso ich die 2 betrachten muss,
Weil hier gezeigt werden soll das es eine Zahl gibt die irreduzibel aber nicht prim ist. Du musst die 2 nicht betrachten, es ist nur das angenehmste Gegenbeispiel.
> $ [mm] (r_1^2+19r_2^2)(s_1^2+19s_2^2)=4 ~\text{und}~ r_2=s_2=0 [/mm] $
Daraus folgt [mm] $r_1^2s_1^2=4$ [/mm] Der Fall [mm] $r_1^2=s_1^2=2$ [/mm] ist nicht möglich, bleibt nur
>$ r= [mm] \pm [/mm] 1 [mm] ~\text{oder}~ [/mm] s= [mm] \pm [/mm] 1 $
(wohlgemerkt oder genauer sogar ein exklusives oder)
Da [mm] $\pm [/mm] 1$ eine Einheit in diesem Ring ist, ist 2 damit irreduzibel nach Def.
> Wieso muss ich zeigen, dass die 2 auch nicht prim ist?! Ich kann die
> Schritte schon nachvollziehen, aber leider fehlt mir die Begründung dazu.
Jeder HIR ist faktoriell insbesondere sind damit die Primelemente genau die irreduziblen Elemente.
Das ist in diesem Ring nicht der Fall.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Fr 08.03.2013 | | Autor: | Katthi |
Danke sometree für deine schnelle Antwort.
Hast mir sehr weitergeholfen. Bleibt nur noch die Frage, wie ich auf das Element kommt, dass irreduzibel aber nicht prim ist. Muss man da rumprobieren oder funktioniert die 2 bei [mm] \IZ [\wurzel{-...}] [/mm] meistens?
habe da nämlich noch ein Beispiel mit [mm] \IZ [\wurzel{-5}] [/mm] und wollte es daran nochmal nachvollziehen, ansich bleiben die Schritte ja gleich und auch hier funktioniert es meiner Meinung nach mit der 2.
oh man.. Die Erklärung mit [mm] \pm 1[/mm] liegt ja wirklich auf der Hand, habe ich einfach nicht dran gedacht.
Vielen Dank für deine Hilfe :)
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Naja das ist halt das Problem beim Finden eines Gegenbeispiels, ganz allgemeine Rezepte sind schwer.
Bei den Ringen der Form [mm] $\mathbb Z[\sqrt{-d}] [/mm] $ bietet sich oft ein Teiler von [mm] $(1+\sqrt{-d})(1-\sqrt{-d})=1+d$ [/mm] an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Fr 08.03.2013 | | Autor: | Katthi |
Ah stimmt.. hier wäre es 20 = 2*10 und bei meinem Beispiel sind es dann 6=2*3 und da ist es dann zufällig die 2. Hätte ich jetzt z.B. [mm] \IZ [\wurzel{-8}] [/mm] müsste man schauen, ob dann die 3 das gesuchte Element ist, richtig?!
Vielen Dank dir :)
nun habe ich noch eine Aufgabe, wo das ganze ein bisschen komplexer ist. und zwar
[mm] \zeta = e^{\bruch{2\pi i}{3}} = -\bruch{1}{2} + \bruch{i}{2} \wurzel{3} [/mm] bei dem man dann zeigen muss, dass [mm] \IZ[\zeta] [/mm] ein Hauptidealring ist.
d.h. ich zeige dann für das Element, dass es irreduzibel und prim ist, oder?
Gehe ich da analog vor oder wie würdest du das angehen? bzw. hier ist es ja schwierig das passende Element zu finden...
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> Ah stimmt.. hier wäre es 20 = 2*10 und bei meinem Beispiel
> sind es dann 6=2*3 und da ist es dann zufällig die 2.
> Hätte ich jetzt z.B. [mm]\IZ [\wurzel{-8}][/mm] müsste man
> schauen, ob dann die 3 das gesuchte Element ist, richtig?!
Wie gesagt das sind Kandidaten für ein Gegenbeispiel ist gibt keine Garantie dass das immer funktioniert.
Und ich hab noch nie einen dieser Ringe betrachtet bei dem d nicht quadratfrei war.
>
> nun habe ich noch eine Aufgabe, wo das ganze ein bisschen
> komplexer ist. und zwar
> [mm]\zeta = e^{\bruch{2\pi i}{3}} = -\bruch{1}{2} + \bruch{i}{2} \wurzel{3}[/mm]
> bei dem man dann zeigen muss, dass [mm]\IZ[\zeta][/mm] ein
> Hauptidealring ist.
> d.h. ich zeige dann für das Element, dass es irreduzibel
> und prim ist, oder?
> Gehe ich da analog vor oder wie würdest du das angehen?
> bzw. hier ist es ja schwierig das passende Element zu
> finden...
Bitte, bitte merken und nie wieder vergessen:
Es gibt keinen keinen Beweis durch Beispiel.
Du müsstest zeigen, dass alle irreduziblen Elemente prim sind.
Dabei hättest du aber nur gezeigt, dass der Ring faktoriell ist. (Wobei auch das je nach euren Def's noch braucht, dass der Ring noethersch) ist.
Jedoch sind nicht alle faktoriellen Ringe auch HIR (Gegenbsp. [mm] $\mathbb [/mm] Z [X]$).
Du musst hier also zeigen, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Hier würde ich zeigen, dass der Ring ein euklidischer Ring ist.
Betrachte hierfür die übliche Norm auf den komplexen Zahlen
(mit [mm] $\xi_3 [/mm] + [mm] \bar{\xi_3}=-1$)
[/mm]
Mir scheint die Aufgabe ist so gedacht, dass ihr euch die "Hierarchie" der Ringe klarmacht. (eukl. Ring -> HIR->faktorieller Ring usw.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 08.03.2013 | | Autor: | Katthi |
oh man, wie doof... klaro kann man nicht mit einem Beispiel, hier einem gesuchten Element, beweisen, peinlich :-o
Wahrscheinlich sollte man das jetzt zeigen können, aber so richtig weiß ich nicht, was ich tun soll um zzg, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist.
In einem Hauptidealring wird ja jedes Ideal von einem Element erzeugt, d.h. I = <a>, denn
Sei [mm] a \in R ~\text{(Körper).~ Die Menge}~ =Ra= \{ra | r \in R \} [/mm] heißt das von a erzeugte Hauptideal .
Aber wie zeige ich das jetzt? oh man...
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Mein Vorschlag ging anscheinend im letzten Post etwas unter.
Zeige, dass [mm] $\mathbb [/mm] Z [mm] [\xi_3]$ [/mm] ein euklidischer Ring bzgl. der Standardnorm der komplexen Zahlen ist.
Es ist ja jeder euklidische Ring ein HIR.
Ich hoffe euklidische Ringe sind bekannt, ohne das fällt mir kein schöner Beweis ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mo 11.03.2013 | | Autor: | Katthi |
Hallo sometree,
ja euklidische Ringe sind von der Definition her bekannt, aber leider haben wir weder im Skript noch in den Übungen ein Beispiel dazu gerechnet, sodass ich die Definition nicht auf meine Aufgabe übertragen kann. Wir haben folgende Definition:
Ein Integritätsring R heißt euklidisch, falls es eine Abbildung [mm] N: R\ \{0\} \to \IZ_{\ge 0} [/mm] gibt, sodass für alle [mm] a,b \in r [/mm] mit [mm] b \not= 0 [/mm], Elemente [mm] q,r \in R [/mm] exisitieren mit [mm] a = qb+r ~\text{und} ~ r=0 ~\text{oder}~ N(r) < N(b) [/mm]. Diese Abbildung N nennen wir eine Normabbildung.
Diese Normabbildung hab ich ja bei den anderen Beispielen auch verwendet, aber wie sieht die denn hierbei aus?
Viele Grüße,
Katthi
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Hallo Katthi,
ich versteh' nicht so ganz wo das Problem liegt.
Es ist [mm] $\mathbb [/mm] Z [mm] [\xi_3] \subseteq \mathbb [/mm] C$, von daher kann die Norm jedes Elements wie üblich berechnet werden.
Oder ist dir nicht klar wie ein Element von [mm] $\mathbb [/mm] Z [mm] [\xi_3]$ [/mm] aussieht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Di 12.03.2013 | | Autor: | Katthi |
Ja genau, so ganz ist mir nicht klar, wie die Elemente aussehen.
wenn ich ja bei den anderen Beispielen die Norm berechnet habe, hatte ich ja für [mm] \Z[\wurzel{-5}] :N( m+n \wurzel{-5} )= m^2 +5n^2 ~ ~ m,n \in \IZ [/mm], wenn ich das jetzt übertrage sehen meine Elemente doch genauso aus oder?
Also [mm] m+n \zeta ~~ m,n \in \IZ [/mm] . Aber welche Aussage erhalte ich denn wenn ich die Norm bilde? Ich kann das irgendwie mit der Definition nicht in Verbindung setzen...
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> Ja genau, so ganz ist mir nicht klar, wie die Elemente
> aussehen.
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> wenn ich ja bei den anderen Beispielen die Norm berechnet
> habe, hatte ich ja für [mm]\Z[\wurzel{-5}] :N( m+n \wurzel{-5} )= m^2 +5n^2 ~ ~ m,n \in \IZ [/mm],
> wenn ich das jetzt übertrage sehen meine Elemente doch
> genauso aus oder?
> Also [mm]m+n \zeta ~~ m,n \in \IZ[/mm] .
Richtig, denn $ [mm] \xi_3^2+\xi_3+1 [/mm] =0$ (drittes Kreisteilungspolynom)
> Aber welche Aussage
> erhalte ich denn wenn ich die Norm bilde? Ich kann das
> irgendwie mit der Definition nicht in Verbindung setzen...
So wie bei den anderen Ringen ist auch dies (das Quadrat des) komplexen Betrags:
[mm] N(m+\xi_3n)= (m+\xi_3n)(m+\bar{\xi_3}n)=m^2-mn+n^2
[/mm]
Bleibt noch zu zeigen, dass dies wirklich einen euklidischen Ring bildet.
(ist ähnlich wie beim Rest nervige Rechnerei.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Di 12.03.2013 | | Autor: | Katthi |
d.h. um dies zu zeigen müsste ich ja jetzt laut Definition die Elemente q und r bestimmen, durch die die Division mit Rest ermöglicht wird und für die gilt, dass N(r) < N(q).
ich glaube ich verzweifle an diesem Beispiel. ich finde einfach kein passendes Beispiel, das mir zeigt, wie ich diesen euklidischen Ring beweisen kann..... Aber danke für deine große Hilfe :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Der Beweis funktioniert analog zu dem für $\mathbb Z [i]$
Zeichnet man $\mathbb Z {\xi_3]$ in ein komplexes Koordinatensystem sieht man, dass die komplexen Zahlen so durch eine Gitter aus gleichmäßigen Dreiecken "gepflastert" sind.
Eines dieser Dreiecke ist gegeben durch die 3 Punkte: 0,1, $\xi_3$,
nennen wir es mal Fundamentaldreick.
Jeder Punkt im Fundamentaldreick hat Betrag kleiner 1 (!).
Seien nun zwei Zahlen $\alpha, \beta \in \mathbb Z[\xi_3]$ gegeben.
Dann ist $\frac{\alpha}{\beta}$ eine komplexe Zahl, lässt sich also schreiben als Summe aus dem Eckpunkt $\gamma$ eines Dreicks und $\delta$ aus dem Fundamentaldreick; $\alpha/\beta= \gamma +\delta$
Damit ist $ \alpha = \gamma \beta +r$ und $N(r)=N(\alpha-\gamma\beta)=N(\delta \beta)=N(\delta)N(\beta)<N(\beta)$.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 Di 12.03.2013 | | Autor: | Katthi |
Vielen vielen Dank, nur verstehe ich nicht ganz, wie du die Dreiecke siehst...
die Folgerung verstehe ich dann aber wieder.
ich habe ja dan den einheitskreis um 0 und wenn ich auf diesen die dritten einheitswurzeln eintrage finde ich nicht das Fundamentaldreieck, das du meinst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 20.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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