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| Aufgabe | Entscheiden Sie mit Hilfe des Hauptminoren Kriteriums, ob die Bilinearform [mm] \langle.,.\rangle_A, [/mm] gegeben durch die Matrix A positiv definit ist.
[mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier folgendes gemacht:
Determinante entwickelt nach der ersten Spalte.
Dann det [mm] A=1\cdot [/mm] det [mm] E_3-2\cdot det\begin{pmatrix}0 & 0 & 2\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
[/mm]
Bei der Determinante mit der Einheitsmatrix kommt natürlich 1 raus, bei der zweiten -4, demnach würde ich sagen, A ist nicht pos. definit.
Aber sind das jetzt schon meine Hauptminoren, also die Determinanten, die beim Berechnen der allgemeinen Determinante, bei Laplace-scher Entwicklung auftreten?
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Hallo
> Entscheiden Sie mit Hilfe des Hauptminoren Kriteriums, ob
> die Bilinearform [mm]\langle.,.\rangle_A,[/mm] gegeben durch die
> Matrix A positiv definit ist.
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> [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
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> Hallo,
>
> ich habe hier folgendes gemacht:
> Determinante entwickelt nach der ersten Spalte.
> Dann det [mm]A=1\cdot[/mm] det [mm]E_3-2\cdot det\begin{pmatrix}0 & 0 & 2\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Bei der Determinante mit der Einheitsmatrix kommt
> natürlich 1 raus, bei der zweiten -4, demnach würde ich
> sagen, A ist nicht pos. definit.
>
> Aber sind das jetzt schon meine Hauptminoren, also die
> Determinanten, die beim Berechnen der allgemeinen
> Determinante, bei Laplace-scher Entwicklung auftreten?
Du hast 4 Hauptminoren bei dieser Matrix
- [mm] A_{1} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow det(A_{1}) [/mm] = 1 > 0
- [mm] A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow det(A_{2}) [/mm] = 1 > 0
- [mm] A_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \Rightarrow det(A_{3}) [/mm] = 1 > 0
- [mm] A_{4} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 } \Rightarrow det(A_{4}) [/mm] = -3 < 0
Du hast nur den letzten Hauptminor berechnet. Jedoch hattest du Recht. Da nicht alle Hauptminoren > 0 sind, ist deine Matrix nicht positiv definit.
Grüsse, Amaro
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