Hauptraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen.
Ich versuche mich gerade an der Jordannormalform.
Leider bin ich mir nicht sicher, ob ich folgende Definition richtig verstanden habe:
Def.:
Sei [mm] x\inK [/mm] Eigenwert einer Matrix [mm] A\inK^{nxn} [/mm] mit algebraischer Vielfachheit [mm] r=alg_{x}(A). [/mm] Dann heisst
Hau{x}(A)= [mm] kern(A-xI)^{r}
[/mm]
Hauptraum von A zum Eigenwert x.
Beispiel:
[mm] A=\pmat{ -3 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & -1}
[/mm]
Dann ist das char. Polynom: [mm] p_{A}(x)=(x-1)^2*(x+3)
[/mm]
Die alg. VF des EW [mm] x_{1}=1 [/mm] ist 2.
Die alg. VF des EW [mm] x_{2}=-3 [/mm] ist 1.
Der Eigenvektor zum EW [mm] x_{1}=1 [/mm] ist also:
kern(A-xI)=0
[mm] \gdw \pmat{ -4 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -2 & -2 & -2}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \gdw \pmat{ -4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \Rightarrow x_{3}=s, x_{2}=-s, x_{1}=0
[/mm]
Das heisst der Hauptraum für EW 1 ist [mm] \pmat{ 0 \\ -s \\ s}^{2}???
[/mm]
Analog für den EW -3.
STIMMT DAS WIRKLICH??
Gruss Babybel
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Moin babybel,
> Def.:
> Sei [mm]x\inK[/mm] Eigenwert einer Matrix [mm]A\inK^{nxn}[/mm] mit
> algebraischer Vielfachheit [mm]r=alg_{x}(A).[/mm] Dann heisst
> Hau{x}(A)= [mm]kern(A-xI)^{r}[/mm]
> Hauptraum von A zum Eigenwert x.
>
> Beispiel:
>
> [mm]A=\pmat{ -3 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & -1}[/mm]
>
> Dann ist das char. Polynom: [mm]p_{A}(x)=(x-1)^2*(x+3)[/mm]
> Die alg. VF des EW [mm]x_{1}=1[/mm] ist 2.
> Die alg. VF des EW [mm]x_{2}=-3[/mm] ist 1.
>
> Der Eigenvektor zum EW [mm]x_{1}=1[/mm] ist also:
>
> kern(A-xI)=0
> [mm]\gdw \pmat{ -4 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -2 & -2 & -2}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\gdw \pmat{ -4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{3}=s, x_{2}=-s, x_{1}=0[/mm]
>
> Das heisst der Hauptraum für EW 1 ist [mm]\pmat{ 0 \\ -s \\ s}^{2}???[/mm]
Was soll denn das sein, ein Vektor zum Quadrat?
Der Hauptraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] mit algebraischer Vielfachheit r ist der Kern der Matrix [mm] (A-\lambda Id)^r
[/mm]
Das heißt, du musst erst die Matrix potenzieren und dann den Kern davon berechnen.
>
> Analog für den EW -3.
>
> STIMMT DAS WIRKLICH??
Nein.
LG
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[mm] kern(A^2-xI)=0
[/mm]
[mm]\gdw \pmat{ 16 & 8 & 8 \\ -8 & -4 & -4 \\ 8 & 4 & 4}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{ 16 & 8 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
[mm]\Rightarrow x_{3}=s, x_{2}=t, x_{1}=(-s-t)/2[/mm]
Das heisst der Hauptraum für EW 1 ist [mm]\pmat{ (-s-t)/2 \\ t \\ s}[/mm]
Analog für den EW -3.
Stimmts so?
Und stimmt es, dass die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes die Anzahl linear abhängiger Eigenvektoren ist?
Gruss Babybel
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Hallo Babybel73,
> [mm]kern(A^2-xI)=0[/mm]
Hier meinst Du das Richtige:
[mm]\operatorname{kern}\left( \ \left(A-xI\right)^{2} \ \right)[/mm]
> [mm]\gdw \pmat{ 16 & 8 & 8 \\ -8 & -4 & -4 \\ 8 & 4 & 4}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\gdw \pmat{ 16 & 8 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}*\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_{3}=s, x_{2}=t, x_{1}=(-s-t)/2[/mm]
> Das heisst
> der Hauptraum für EW 1 ist [mm]\pmat{ (-s-t)/2 \\ t \\ s}[/mm]
Schreibe das so: [mm]s*\vec{v}_{1}+t*\vec{v}_{2}[/mm]
Dann wird der Hauptraum von den Vektoren [mm]\vec{v}_{1}, \ \vec{v}_{2}[/mm] aufgespannt.
>
> Analog für den EW -3.
>
> Stimmts so?
>
> Und stimmt es, dass die geometrische Vielfachheit eines
> Eigenwertes die Anzahl linear abhängiger Eigenvektoren
> ist?
Ja, das gilt für den Eigenraum.
>
> Gruss Babybel
Gruss
MathePower
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