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Hauptraumzerlegung: Direkte Summe der HRe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Do 28.11.2013
Autor: tkgraceful

Aufgabe
Sei [mm] f\in [/mm] End(V), sein [mm] P_f(t)=\prod^k_{i=1}(t-\lambda_i)^{r_i} [/mm] mit [mm] r_i\in\mathbb{N}, [/mm] dann gilt [mm] V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k) [/mm]

Okay, aus den selben Voraussetzungen folgt

dim [mm] Hau(f,\lamda_i)=r_i=\mu_a(f,\lambda_i) [/mm] für [mm] 1\leq i\leq [/mm] k

Daraus ist [mm] \sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=\sum^k_{i=1} r_i=n [/mm]

(Da char. Pol. vom Grad n und zerfällt mit den Vielfachheiten [mm] r_i) [/mm]

Zeige [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i). [/mm] Dann ist dim [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i) [/mm] = [mm] \sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=n [/mm]

also [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i) [/mm] = V.

Aber wie zeige ich [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i) [/mm] ?

Kann man das direkt sehen? Stehe ich nur auf dem Schlauch oder muss man tatsächlich zeigen, dass für alle [mm] j\in\{1,\hdots,k\} [/mm] gilt: [mm] Hau(f,\lambda_j)\cap \sum^k_{i=1, i\neq j}Hau(f,\lambda_i)=\{0\} [/mm] ?

Dazu fällt mir dann nur ein, dass ich ein v betrachte, das sowohl im j-ten Hau ist, als auch in der Summe der anderen.

Dann ist [mm] (f-\lambda_j)^nv=0 [/mm] und eine Darstellung von v ist [mm] v=\sum^k_{i=1,i\neq j} \sum_{l=1}^{p_i} b^{(i)}_lu^{(i)}_l [/mm] wobei [mm] u^{(i)}_l [/mm] der l-te Basisvektor aus [mm] Hau(f,\lambda_i) [/mm] ist und [mm] b^{(i)}_l [/mm] sein Koeffizient. D.h. es gilt insbesondere [mm] (f-\lambda_iid)u^{(i)}_l=0 [/mm] für [mm] 1\leq i\leq [/mm] k und [mm] 1\leq l\leq p_i [/mm]

Einsetzen in [mm] (f-\lambda_j)^nv=0 [/mm] liefert dann ausschließlich v=0.

Ist das der Weg?

        
Bezug
Hauptraumzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Do 28.11.2013
Autor: fred97


> Sei [mm]f\in[/mm] End(V), sein
> [mm]P_f(t)=\prod^k_{i=1}(t-\lambda_i)^{r_i}[/mm] mit
> [mm]r_i\in\mathbb{N},[/mm] dann gilt [mm]V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k)[/mm]
>  
> Okay, aus den selben Voraussetzungen folgt
>  
> dim [mm]Hau(f,\lamda_i)=r_i=\mu_a(f,\lambda_i)[/mm] für [mm]1\leq i\leq[/mm]
> k
>  
> Daraus ist [mm]\sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=\sum^k_{i=1} r_i=n[/mm]
>  
> (Da char. Pol. vom Grad n und zerfällt mit den
> Vielfachheiten [mm]r_i)[/mm]
>  
> Zeige [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i).[/mm]


Was (!!) sollst Du zeigen ??




> Dann ist dim
> [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i)[/mm] = [mm]\sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=n[/mm]
>  
> also [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i)[/mm] = V.
>  
> Aber wie zeige ich [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i)[/mm] ?

Was (!!) solst Du zeigen ??

FRED

>  
> Kann man das direkt sehen? Stehe ich nur auf dem Schlauch
> oder muss man tatsächlich zeigen, dass für alle
> [mm]j\in\{1,\hdots,k\}[/mm] gilt: [mm]Hau(f,\lambda_j)\cap \sum^k_{i=1, i\neq j}Hau(f,\lambda_i)=\{0\}[/mm]
> ?
>  
> Dazu fällt mir dann nur ein, dass ich ein v betrachte, das
> sowohl im j-ten Hau ist, als auch in der Summe der
> anderen.
>  
> Dann ist [mm](f-\lambda_j)^nv=0[/mm] und eine Darstellung von v ist
> [mm]v=\sum^k_{i=1,i\neq j} \sum_{l=1}^{p_i} b^{(i)}_lu^{(i)}_l[/mm]
> wobei [mm]u^{(i)}_l[/mm] der l-te Basisvektor aus [mm]Hau(f,\lambda_i)[/mm]
> ist und [mm]b^{(i)}_l[/mm] sein Koeffizient. D.h. es gilt
> insbesondere [mm](f-\lambda_iid)u^{(i)}_l=0[/mm] für [mm]1\leq i\leq[/mm] k
> und [mm]1\leq l\leq p_i[/mm]
>  
> Einsetzen in [mm](f-\lambda_j)^nv=0[/mm] liefert dann
> ausschließlich v=0.
>  
> Ist das der Weg?


Bezug
                
Bezug
Hauptraumzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Do 28.11.2013
Autor: tkgraceful

Na, dass
[mm] V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k) [/mm]
gilt.

Also Zeig ich, dass die Summe [mm] Hau(f,\lambda_1)+\hdots +Hau(f,\lambda_k) [/mm] direkt ist: Also [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i). [/mm] Und dann zeige ich, dass die Dimension der Summe gerade n ist. Also gerade gleich dem ganzen Raum V ist.

Oder nicht?

Bezug
                        
Bezug
Hauptraumzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Do 28.11.2013
Autor: fred97


> Na, dass
>  [mm]V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k)[/mm]
>  
> gilt.
>  
> Also Zeig ich, dass die Summe [mm]Hau(f,\lambda_1)+\hdots +Hau(f,\lambda_k)[/mm]
> direkt ist: Also [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i).[/mm] Und
> dann zeige ich, dass die Dimension der Summe gerade n ist.
> Also gerade gleich dem ganzen Raum V ist.
>  
> Oder nicht?

Ja, so kannst Du das machen.

FRED

Bezug
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