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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 11.05.2011 | | Autor: | jay91 |
| Aufgabe | die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei Lebesgue-integrierbar und stetig in [mm] x_0 \in \IR.
[/mm]
zu zeigen:
die Funktion: [mm] F:\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm]
[mm] F(x)=\integral_{(-\infty,x]}{f(t) \lambda(dt)} [/mm]
ist in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar und es gilt: [mm] F'(x_o) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] |
die ist genau der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
meine idee ist jetzt, zu zeigen, dass diese Funktion auch Riemann integrierbar ist.
denn dann müsste die Behauptung folgen.
nur ist diese Funktion Riemann integrierbar? Wann ist eine Lebesgue integrierbare Funktion überhaupt Riemann integrierbar?
Ich kenne nur Kriterien andersherum.
Oder führt meine Idee nicht zum Ergebnis und es muss anders gehen?
Wenn ja, wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> meine idee ist jetzt, zu zeigen, dass diese Funktion auch Riemann integrierbar ist.
muß nicht sein. Offensichtlich nicht auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] aber noch nichtmal in irgendeiner Umgebung von [mm] $x_0$
[/mm]
Nimm das übliche Bsp. [mm] $1_{\IQ}$ [/mm] und ändere es zu [mm] $x^2 1_{\IQ}(x)$ [/mm] mit [mm] $x_0=0$.
[/mm]
Es geht leichter. Setz einfach mal F(x) in die Definition der Ableitung ein. Wegen der Stetigkeit kann man [mm] $\int_x^{x+h} [/mm] f\ [mm] d\lambda$ [/mm] nach oben und unten abschätzen.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 So 22.05.2011 | | Autor: | jay91 |
ok, hat geklappt.
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