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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 03.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Führen sie weiter aus:
$f'(x) = [mm] \frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \sqrt{cos(t)}dt \right) [/mm] |
Weiter ausgeführt:
.$.. = [mm] \frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} g(t) dt \right) [/mm] $ = $ [mm] \frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) [/mm] $ = g(x) = $ [mm] \sqrt{cos(x)} [/mm] $
Könnt ihr mir erklären, warum man nach [mm] $\frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) [/mm] = ...$ einfach $... = g(x)$ schreiben darf (insbesondere warum dann doch aufeinmal das x auftaucht und nicht das t bleibt), obwohl man ja eigentlich die integrierte Funktion nicht gekannt hat?
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> Führen sie weiter aus:
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> f'(x) = [mm]\frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \sqrt{cos(t)}dt \right)[/mm]
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> Weiter ausgeführt:
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> .[mm].. = \frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} g(t) dt \right)[/mm]
> = [mm]\frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)[/mm]
> = g(x) = [mm]\sqrt{cos(x)}[/mm]
> Könnt ihr mir erklären, warum man nach [mm]\frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = ...[/mm]
> einfach [mm]... = g(x)[/mm] schreiben darf (insbesondere warum dann
> doch aufeinmal das x auftaucht und nicht das t bleibt),
> obwohl man ja eigentlich die integrierte Funktion nicht
> gekannt hat?
Hallo bandchef,
zuerst einmal ist es einerlei, mit welchem Symbol man
die Integrationsvariable im Inneren des Integrals bezeichnet.
Anstatt
[mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(t)\,dt$
[/mm]
kann man ebensogut
[mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(z)\,dz$ [/mm] oder [mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(\alpha)\,d\alpha$
[/mm]
schreiben, auch [mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(x)\,dx$
[/mm]
wäre nicht falsch, könnte aber zu Missverständnissen
Anlass geben. Es ist sinnvoll, für die Integrationsvariable
ein Symbol zu wählen, welches nicht auch in den
Integrationsgrenzen auftritt. Hat die Integrandenfunktion g
eine Stammfunktion G, so ist
[mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(t)\,dt\ [/mm] =\ G(t)\ [mm] \left|_{_{-\frac{\pi}{2}}}^{^{x}}\ =\ G(x)-G(-\frac{\pi}{2})$
Das x kommt also einfach durch diese Ersetzung der
Integrationsvariablen durch die eigentliche Obergrenze x
zustande. Da wird nichts "gezaubert".
Als nächstes soll man das Ergebnis G(x)-G(-\frac{\pi}{2})
ableiten, und zwar nach der Variablen x. Weil G eine Stamm-
funktion von g sein soll (die existiert auch für t\in [-\frac{\pi}{2} ,+\frac{\pi}{2}],
weil g über diesem Intervall definiert und stetig ist),
ist das Ergebnis dann $\ G'(x)-0=G'(x)=g(x)=\sqrt{cos(x)}$
Wäre die Aufgabe gewesen,
[/mm] [mm]\frac{d}{d\,\red{\boldsymbol{t}}}\left(\ \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \sqrt{cos(t)}\ dt\ \right)[/mm]
zu berechnen, wäre das Ergebnis eine blanke Null !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 So 03.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Das war das worum ich nicht weitergekommen bin:
Zitat: "Als nächstes soll man das Ergebnis $ [mm] G(x)-G(-\frac{\pi}{2}) [/mm] $
ableiten, und zwar nach der Variablen x."
Ich hab irgendwie ausgeblendet, dass das [mm] $G(-\frac{\pi}{2})$ [/mm] ja nicht von der Variable x abhängt und somit beim Differenzieren als Konstante behandelt wird!
Danke!
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