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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Fr 07.08.2009 | | Autor: | tony90 |
| Aufgabe | Hallo, zu folgender Matrix ist eine Kette von Hauptvektoren zu bestimmen:
[mm] A=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1} [/mm] |
also zuerst char. Polynom:
Eigenwerte:--> [mm] \lambda_{1,2,3}=-1
[/mm]
dann [mm] det(A-\lambda*E)=v^{0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , also der einzige linear unabhängige Eigenvektor!
Gesucht sind jetzt die Hauptvektoren der Stufe 1 und 2!
Dazu sollte ich die Gleichung [mm] det(A-\lambda*E)*v^{1}=v^{0} [/mm] lösen (laut formel)
Dazu: [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}*v^{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] --> [mm] v^{1} [/mm] nur wie? die matrix ist singulär! es existiert also keine inverse!
Was muss ich jetzt hier genau tun? Gauß Elimination liefert ja kein eindeutiges Ergebnis?!
habe mit Gaus: [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}| \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] jetzt noch -1 auf der Hauptdiagonalen dann steht da:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1}| \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Wie ist das hier jetzt zu interpretieren? Wie ist mein hauptvektor Stufe 1?
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Hallo tony90,
> Hallo, zu folgender Matrix ist eine Kette von Hauptvektoren
> zu bestimmen:
>
>
> [mm]A=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1}[/mm]
> also
> zuerst char. Polynom:
>
> Eigenwerte:--> [mm]\lambda_{1,2,3}=-1[/mm]
>
> dann [mm]det(A-\lambda*E)=v^{0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] , also der
> einzige linear unabhängige Eigenvektor!
>
> Gesucht sind jetzt die Hauptvektoren der Stufe 1 und 2!
> Dazu sollte ich die Gleichung [mm]det(A-\lambda*E)*v^{1}=v^{0}[/mm]
> lösen (laut formel)
>
> Dazu: [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}*v^{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> --> [mm]v^{1}[/mm] nur wie? die matrix ist singulär! es existiert
> also keine inverse!
Das ist klar, dass es keine Inverse gibt.
>
> Was muss ich jetzt hier genau tun? Gauß Elimination
> liefert ja kein eindeutiges Ergebnis?!
>
Löse das obige System manuell auf.
Hier bekommst Du dann unendlich viele Lösungen.
>
> habe mit Gaus: [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}| \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> jetzt noch -1 auf der Hauptdiagonalen dann steht da:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1}| \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Das muss wohl hier eher so lauten:
[mm]\pmat{ \red{1} & 0 & -1 \\ 0 & \red{1} & 0 \\ 0 & 0 & -1}| \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Hier erkennst Du wieder den Vektor [mm]v^{0}[/mm].
Daher kann der Vektor [mm]v^{1}[/mm] nur eine spezielle Lösung dieses Gleichungssytems sein.
>
> Wie ist das hier jetzt zu interpretieren? Wie ist mein
> hauptvektor Stufe 1?
>
>
Gruss
MathePower
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