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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 01.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei (0,1) das offene Intervall in [mm] \IR [/mm] mit Grenzen 0 und 1.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \IR/(0,1) [/mm] nicht hausdorffsch ist.
b) Geben, Sie an welche Punkte man in [mm] \IR/(0,1) [/mm] nicht trennen kann. |
Nabend Leute,
nun klar ist ers mal, dass [mm] \IR [/mm] hausdorffsch ist. Also wird wohl hier der Knackpunkt bei 0 und 1 sein. Ich würde sagen, dass man die beiden Punkte nicht trennen kann, denn es gibt keine offene Menge in [mm] \IR/(0,1), [/mm] die die 0 bzw. 1 enthält also kann [mm] \IR/(0,1) [/mm] somit auch nicht hausdorffsch sein.
Ist das so okay?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 02.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Wär echt toll, wenn mir jemand bestätigen könnt, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Mo 02.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (0,1) das offene Intervall in [mm]\IR[/mm] mit Grenzen 0 und 1.
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\IR/(0,1)[/mm] nicht hausdorffsch ist.
Was versteht ihr unter [mm] $\IR/(0,1)$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mo 02.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Naja das ist eben [mm] \IR [/mm] ohne das offene Intervall (0,1).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Du meinst also T = [mm] \IR [/mm] \ (0,1) als Teilraum von [mm] \IR [/mm] versehen mit der Spurtopologie ?
Das kann nicht sein, denn dieser Raum ist ein tadelloser Hausdorffraum, denn sind x,y [mm] \in [/mm] T und x [mm] \not= [/mm] y, so gibt es zunächst in [mm] \IR [/mm] offene Mengen G und H mit
x [mm] \in [/mm] G, y [mm] \in [/mm] H und G [mm] \cap [/mm] H = [mm] \emptyset.
[/mm]
Setze [mm] G_0 [/mm] = G [mm] \cap [/mm] T und [mm] H_0 [/mm] = H [mm] \cap [/mm] T. Dann sind [mm] G_0 [/mm] und [mm] H_0 [/mm] offen in T,
x [mm] \in G_0, [/mm] y [mm] \in H_0 [/mm] und [mm] G_0 \cap H_0 [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Bevor ich mir oder andere sich die Mühe machen, über Deine Aufgabe nachzudenken, stelle mal fest ob mit $ [mm] \IR/(0,1) [/mm] $ vielleicht der Quotientenraum mit der Quotiententopologie gemeint ist
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:48 Mo 02.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Nun ich hab die Aufgabe exakt so widergegeben wie sie auf meinem Übungsblatt steht. Um ehrlich zu sein hab ich gar nicht in Betracht gezogen, dass es sich bei [mm] \IR/(0,1) [/mm] um eine Quotientenmenge handeln könnte. Nach deinem Einwand zu urteilen, scheint dies aber wirklich so zu sein. Aber welche Punkte kann ich in so einem Quotientenraum denn trennen? mir fehlt da ein wenig die Vorstellung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 02.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Kann es nicht sein, dass mit [mm] \IR/(0,1) [/mm] doch einfach nur [mm] \IR [/mm] ohne das offene Intervall (0,1) gemeint ist und darauf die euklidische Topologie betrachtet wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 02.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann es nicht sein, dass mit [mm]\IR/(0,1)[/mm] doch einfach nur [mm]\IR[/mm]
> ohne das offene Intervall (0,1) gemeint ist und darauf die
> euklidische Topologie betrachtet wird?
1. Das wuerde sich [mm] $\IR \setminus [/mm] (0, 1)$ oder [mm] $\IR [/mm] - (0, 1)$ schreiben, aber niemals [mm] $\IR [/mm] / (0, 1)$.
2. Wie Fred schon gesagt hat, ist dies ein Hausdorffraum, womit die Aufgabe keinen Sinn machen wuerde wenn dies der Fall waer.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:09 Di 03.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Nun da das nun geklärt ist und es sich bei [mm] \IR/(0,1) [/mm] um den Quotientenraum mit der Quotiententopologie handelt, bleibt meine Frage, welche Punkte man in [mm] \IR/(0,1) [/mm] denn nicht trennen kann. Kann mir da jemand helfen? Wie sehen die Punkte überhaupt aus? Besten Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 03.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also sind es lediglich die Punkte 0 und 1, die man hier nicht trennen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch erst mal hin, was $ [mm] \IR/(0,1) [/mm] $ für eine Menge ist und wie die Topologie auf ihr ausseiht
FRED
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