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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Do 02.11.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Untersuchen sie f auf Nullstellen, Polstellen einschließlich Vorzeichenwechsel und auf hebbare Definitionslücken. Geben sie die Schnittpunkte des Graphen f mit den Koordinatenachsen, die Gleichungen der senkrechten Asymptoten und gegebenfalls den jeweiligen Grenzwert bei Annäherung an eine Definitionslücke an.
f (x) = [mm] \bruch{x^2+5x+2}{(x+1)^2} [/mm] |
Hallo,
Habe hier vorallem das Problem mit der der Hebbaren Definitionslücke aber alles der Reihe nach ;)
Die Funktion hat Nullstellen bei x [mm] \approx [/mm] -0,4384472 und x [mm] \approx [/mm] -4,562.
Die Polstelle der Funktion liegt bei x = -1
Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen liegt bei (0|2).
An der Polstellen gibt es kein Vorzeichenwechsel.
So und nun zum eigentlichen Problem.
Haben es so gemacht um die Hebbare Definitionslücke zu finden, dass wir die erstmal eine Faktorisierung gemacht haben. Im Zähler, wie auch im Nenner, damit mal später ggf. kürzen kann,
Aber hier komme ich überhaupt nicht klar. Weiß nicht was für Polynome ich im Zähler bekommen soll.
Wäre lieb wenn mir jemadn von euch helfen könnte.
MfG
Kristof
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Hallo Kristof,
> Untersuchen sie f auf Nullstellen, Polstellen
> einschließlich Vorzeichenwechsel und auf hebbare
> Definitionslücken. Geben sie die Schnittpunkte des Graphen
> f mit den Koordinatenachsen, die Gleichungen der
> senkrechten Asymptoten und gegebenfalls den jeweiligen
> Grenzwert bei Annäherung an eine Definitionslücke an.
>
> f (x) = [mm]\bruch{x^2+5x+2}{(x+1)^2}[/mm]
> Hallo,
> Habe hier vorallem das Problem mit der der Hebbaren
> Definitionslücke aber alles der Reihe nach ;)
>
> Die Funktion hat Nullstellen bei x [mm]\approx[/mm] -0,4384472 und x
> [mm]\approx[/mm] -4,562.
>
> Die Polstelle der Funktion liegt bei x = -1
>
> Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen liegt
> bei (0|2).
>
> An der Polstellen gibt es kein Vorzeichenwechsel.
>
> So und nun zum eigentlichen Problem.
> Haben es so gemacht um die Hebbare Definitionslücke zu
> finden, dass wir die erstmal eine Faktorisierung gemacht
> haben. Im Zähler, wie auch im Nenner, damit mal später ggf.
> kürzen kann,
>
> Aber hier komme ich überhaupt nicht klar. Weiß nicht was
> für Polynome ich im Zähler bekommen soll.
du musst den Zähler durch den Nenner oder wenigstens durch einen der Faktoren im Nenner teilen können, und es darf kein Rest bleiben, dann liegt eine behebbare Definitionslücke vor.
Kennst du die  Polynomdivision?
siehe auch ![[]](/images/popup.gif) in der Wikipedia
Zeichne die Funktion zum besseren Verständnis mit Funkyplot
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Kristof |
Das ist ja das Problem.
Ich bekomme keinen Vernünftigen Linearfaktor um die Polynomdivision durchführen zu können, wenn ich ehrlich bin.
Da die Nullstellen nun wirklich sehr komisch sind,
kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?
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Hi Kristof,
du hast die Sache doch eigentlich schon selbst beantwortet. Du Funktion hat eine Definitionslücke bei x = -1, dort liegt eine Polstelle vor, insofern kannst du die Definitionslücke nicht stetig schliessen (oder "heben").
Interessant wäre es nur gewesen, wenn dort keine Polstelle vorgelegen hätte 
Gruß,
Gono.
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Hallo Kristof,
> Das ist ja das Problem.
> Ich bekomme keinen Vernünftigen Linearfaktor um die
> Polynomdivision durchführen zu können, wenn ich ehrlich
> bin.
>
> Da die Nullstellen nun wirklich sehr komisch sind,
> kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?
du machst die Polynomdivision nicht mit den Nullstellen des Zählers, sondern mit denen des Nenners!
Und die sind nun gar nicht komisch.
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Hast du nicht immer da die Deffinitionslücke, wenn der Nenner 0 ergiebt (du darfst ja nicht durch null teilen...)
Und dann wäre es ganz einfach:
[mm] (x+1)^2=0 [/mm] | Wurzel
x+1=0 |-1
x=-1
--> x darf nie -1 sein, da sonst der Nenner Null ergiebt --> bei -1 ist die Definitionlücke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 05.11.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hast du nicht immer da die Deffinitionslücke, wenn der
> Nenner 0 ergiebt (du darfst ja nicht durch null teilen...)
>
> Und dann wäre es ganz einfach:
>
> [mm](x+1)^2=0[/mm] | Wurzel
> x+1=0 |-1
> x=-1
>
> --> x darf nie -1 sein, da sonst der Nenner Null ergiebt
> --> bei -1 ist die Definitionlücke
Ja, dass ist mir ja auch klar, aber das ist doch gar nicht mein Problem :(
Bei mir geht es doch um die Fortsetzungsfunktion, mit der die Definitionslücke eventuell "hebbar" wird.
Also zum Beispiel wie hier :
f (x) = [mm] \bruch{x^3-x^2-14x+24}{x^4+3x^3-18x^2-32x+96}
[/mm]
Wenn ich hier den Zähler sowie den Nenner faktoriesiere erhalte ich ja folgendes :
f (x) = [mm] \bruch{(x-2)*(x+4)*(x-3)}{(x+4)*(x+4)*(x-2)*(x-3)}
[/mm]
Hier kann ich nun mithilfe der Fortsetzungsfunktion die Definitionslücken eventuell "hebbar" machen. Bei 2 der Definitionslücken hier Funktioniert das auch, nämlich bei x = 2 und x = 3.
Das sieht dann ja auch wie folgt :
[mm] f_1*(x) [/mm] = [mm] \bruch{(x+4)*(x-3)}{(x+4)*(x+4)*(x-3)}
[/mm]
Nun kann ich die Definitionslücke ohne das im Nenner 0 ergibt einsetzen.
[mm] f_1*(2) [/mm] = 6
Fortsetzungsfunktion bietet also den Lückenwert an der Stelle x = 2.
Das gleiche kann ich auch für x = 3 machen, in dem ich den Linearfaktor (x-3) kürze. Dadurch bietet die Fortsetzungsfunktion den Lückenwert bei x = 3.
[mm] f_2*(3) [/mm] = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
Mit dem Linearfaktor (x+4) geht das ganze nicht. Da x = -4 im Nenner eine doppelte Nullstelle hat. Somit erhält man mit der Fortsetzungsfunktion keinen Lückenwert bei der Stelle x = -4 da man bei eisetzen wieder durch 0 teilen müsste.
Genau das ist nämlich mein Problem bei der Aufgabe.
Kann man da auch die Definitionslücke durch eine Fortsetzungsfunktgion f*(x) "hebbar" machen?
Ich komme da irgendwie nicht weiter ... :(
Naja, vielleicht wisst ihr ja noch was.
Ich denke es geht nicht. Aber vielleicht liege ich da ja auch falsch.
Danke schonmal im Voraus,
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 05.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin kristof,
die regel nach der du vorgehen kannst ist die:
eine hebbare definitionslücke ist dann gegeben, an den stellen, an denen zähler und nenner dieselben nullstellen haben.
du ermittelst also zunächst alle nullstellen des nenners
und dann alle nullstellen des zählers.
findest du übereinstimmungen, kannst du die polynome entsprechend zerlegen, z.b. mithilfe der polynomdivision getrennt für zähler und nenner.
gruß
wolfgang
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