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| Aufgabe | Welche Lücken bei den folgenden FUnktionen sind hebbar, welche nicht hebbar, welche sind Pole? Geben Sie bei den Polstellen die Asymptoten an.
f(x) [mm] \bruch{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}
[/mm]
Lösung (laut Buch):
x=-2 hebbar. x=+2 nicht hebbar, Pol, Asymptote x=2.
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Hallo!
ich hoffe sehrsehr, es kann mir jemand helfen *verzweifel*. Mein Problem ist, dass ich nur so ungefähr weiss, was ich tun soll und ab irgendwann nicht mehr weiterrechnen kann. Hab jetzt mal mit zwei Varianten gerechnet, wobei die h-Variante die im Buch beschriebene ist...
1. die Nullstellen-Variante (geht je nach Aufgabenstellung normalerweise zum rauskürzen)
und
2. die h-Variante....
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1. Variante, Nullstellen berechnet:
[mm] x^{2}+4x+4=0
[/mm]
p=4, q=4
[mm] \bruch{16}{4}-4=0 [/mm]
Wurzel aus Null geht nicht...also...
[mm] x_{1/2}=\bruch{4}{2}=2+0=2 [/mm] und 2-0=2
Dasselbe habe ich mit der zweiten Parabel gemacht:
[mm] x^{2}-4=o
[/mm]
p=0, q=4
[mm] x_{1/2}= \wurzel{4} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2
Nun hab ich also zwei Lösungen:
für oben [mm] x_{1/2}:2
[/mm]
für unten [mm] x_{1/2}: \pm [/mm] 2
....und weiss nicht recht weiter...
2. Variante: das h-Verfahren
( überall x durch (2+h) ersetzt)
f(2+h): [mm] \bruch{(2+h)²+4(2+h)+4}{(2+h)²-4}
[/mm]
f(2+h): [mm] \bruch{ h²+8h+16}{4h+ h²}
[/mm]
das habe ich dann jeweils quadratisch ergänzt, kommt bei mir raus:
f(2+h): [mm] \bruch{(h+4)²-8}{(h+2)}
[/mm]
und ab da weiss ich dann gar nicht mehr weiter. Frage ist also, wie komme ich ab da zu meinem Ergebnis? Muss ich da dann kürzen und wenn ja, wie?
Ich hoffe, es ist nicht zu verwirrend und zu viel....?
Ich wäre euch super dankbar wenn mir jemand helfen könnte.  !
Viele Grüße,
hatschepsut
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Tequila |
hallo
die Definitionslücke die du anscheinend suchst ist ja wenn der Nenner = 0 ist weil es dann nicht definiert ist.
also schreib einfach die funktion anders auf:
[mm] \bruch{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4} [/mm] = [mm] \bruch{(x+2)^{2}}{(x-2)(x+2)}
[/mm]
der Nenner wird NULL bei x = (-2) [mm] \wedge [/mm] x = 2
dann kannst du einmal rauskürzen, aber hast noch folgendes Problem:
im Nenner steht immernoch (x-2)
das ist gleich NULL wenn x = 2
bei x=(-2) ist sie also stetig ergänzbar / behebbar
wenn man nix rauskürzen oder vereinfachen kann, muss man schauen, ob der Links- bzw. Rechtsseitige Grenzwert gleich ist
wenn er gleich ist dann ist es dort auch behebbar, ansonsten nicht
Habs zwar nicht geprüft, aber in dem fall müsste der Grenzwert von links [mm] \not= [/mm] dem Grenzwert von rechts sein.
Somit ist sie bei x=2 nicht behebbar
sie geht dort wahrscheinlich (hab ich nicht geprüft) gegen [mm] +\infty [/mm] bzw. [mm] -\infty
[/mm]
also ist es dort eine Polstelle
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Hallo!
vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort !
Ich habs jetzt so nachgerechnet und ja, auf das wollte ich dann auch hinaus mit meiner 1. Variante, habs nur nicht so hinbekommen.
Also was mir noch nicht so ganz klar ist:
[mm] \bruch{(x+2)²}{(x+2)(x-2)}
[/mm]
nach Kürzung bleibt dann:
[mm] \bruch{(x+2)}{(x-2)}
[/mm]
Doofe Frage, sorry: Wieso zählt denn dann der Zähler eigentlich nicht?
Denn im Nenner ist es so:
bei x=(-2)= (-2-2)=-4
bei x=(2)= (2-2)=0
oder?
und was mach in dann mit dem Zähler?
Wäre schön, wenn noch Du nochmal antworten könntest....
Danke.
Grüßle,
hatschepsut
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Es geht ja um Definitionslücken, also wo die Funktion nicht definiert ist.
Wenn der Zähler NULL ist, dann ist ja der Definitionswert NULL.
Also auf NULL bei der Y-Achse.
Damit wäre er ja definiert, nur halt das er den Wert NULL hat(ist ne Nullstelle).
Eine Definitionslücke hat keinen Wert(Wenn man sie nicht beheben kann).
Soweit klar?
Ansonsten schau mal bei http://de.wikipedia.org unter Definitionslücke und/oder Definitionswert etc.
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'tschuldige, dass ich nochmal nachfrage....
Hmmm, ja dass das Null geben muss....okay und eben:
Ich häng eben grad da: überm Strich würde es ja auch null geben,
nämlich wenn ich (-2) eingebe???
(was versteh ich denn da jetzt nicht?)
Liebe Grüße,
hatschepsut
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Do 02.03.2006 | | Autor: | bjochen |
Es geht darum, dass es einen Unterschied gibt zwischen dem dass wenn der Zähler oder der Nenner 0 ist.
1/0 ist nicht definiert weil dieser Ausdruck keine Lösung hat.
0/1 ist definiert weil das gleich 0 ist.
Es ist das gleiche bei einer Funktion...wenn der Zähler 0 ist dann ist der ganze Bruch 0 und du hast eine Nullstelle bzw der Graph schneidet an dem Punkt die x-Achse.
Ist der Nenner 0 entsteht ein nicht definierter Ausdruck und es ensteht eine Polstelle und an der Stelle hat die Funktion keinen Wert.
Und bei deiner Aufgabe geht es doch um Polstellen und nicht um Nullstellen. ;)
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Hach! Danke, bjochen und Tequila!
jetzt hats zwar lange gedauert, aber nun hab ich's!
Es geht darum, wann die Funktion ja *nicht* definiert ist, und das ist sie, wenn im Nenner Null ist! Wäre im Zähler null, wäre sie ja trotzdem definiert, da sie nur bei der null im Nenner nicht definiert ist....gell.
Danke Euch nochmal!
lg,
hatschepsut
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