Hebbare Singul. bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion h(Z) erfülle lim z ->0 z*h(z) = 0.
Bestimme das Residuum, den Typ der Singularität und die LaurentReihe um den Punkt 0. |
Hi!
Meine Lösung sagt mir, das diese Funktion oben eine hebbare Singularität hat.
Klar ist, das daraus folgt das das Residuum Res(h(z), 0) = 0 ist.
Aber wie kommt man drauf das das eine hebbare sing. ist?
Ich habs mit der Laurentreihe versucht. Denn wenn die [mm] c_k [/mm] = 0 sind, für k < 0, solls ja eine hebbare sein. Allerdings seh ich nicht warum die [mm] c_k [/mm] = 0 sein sollen.
thx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mi 04.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Funktion h(Z) erfülle lim z ->0 z*h(z) = 0.
> Bestimme das Residuum, den Typ der Singularität und die
> LaurentReihe um den Punkt 0.
> Hi!
>
> Meine Lösung sagt mir, das diese Funktion oben eine hebbare
> Singularität hat.
> Klar ist, das daraus folgt das das Residuum Res(h(z), 0) =
> 0 ist.
>
> Aber wie kommt man drauf das das eine hebbare sing. ist?
> Ich habs mit der Laurentreihe versucht. Denn wenn die [mm]c_k[/mm]
> = 0 sind, für k < 0, solls ja eine hebbare sein. Allerdings
> seh ich nicht warum die [mm]c_k[/mm] = 0 sein sollen.
> thx
Kennst du den ![[]](/images/popup.gif) Riemannschen Hebbarkeitssatz? Da die Funktion $h$ um 0 herum eindeutig beschraenkt ist (andernfalls waere der Limes nicht 0), hat sie in 0 eine hebbare Singularitaet.
Falls ihr den Satz noch nicht hattet: Wenn du $f(z) := z h(z)$ durch $f(0) = 0$ fortsetzt, hast du eine ausserhalb von 0 holomorphe und in 0 stetige Funktion. Nach irgendeinen Satz (hab den Namen grad vergessen) ist die Funktion dann bereits ueberall holomorph. Also kannst du sie in 0 in eine Potenzreihe entwickeln, etwa $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k z^k$. [/mm] Nun ist $f(0) = 0$, also [mm] $a_0 [/mm] = 0$. Aber dann ist $h(z) = f(z)/z = [mm] \sum_{k=1}^\infty a_k z^{k-1}$ [/mm] in einer Umgebung von 0, und somit hat $h$ eine hebbare Singularitaet in 0.
(Das ist uebrigens der Beweis vom Riemannschen Hebbarkeitssatz  )
LG Felix
|
|
|
|
