Heine-Borel Eigenschaft < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:16 Di 15.11.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $(E,d)$ metrischer Vektorraum. Man sagt, $(E,d)$ habe die Heine-Borel-Eigenschaft, falls jede beschränkte, abgeschlossene Teilmenge kompakt ist.
Zeigen Sie:
(i) Ein normierter Raum hat die Heine-Borel-Eigenschaft genau dann, wenn er endlich dimensional ist.
(ii) [mm] $(\IK^{\IN},d)$ [/mm] hat die Heine-Borel Eigenschaft. |
Hallo,
mir bereitet die Aufgabe noch große Schwierigkeiten, daher würde ich mich über Tipps freuen.
(i) [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] $(E,d)$ endlich dim. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] E ist homöomorph zu [mm] $\IK^N$ [/mm] für geeignetes [mm] $N\;$. [/mm] Damit ist jede Teilmenge von [mm] $E\;$, [/mm] die beschränkt und abgeschlossen ist, kompakt nach dem Satz von Heine-Borel.
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Ich wollte hier einen Widerspruchsbeweis durchführen, also angenommen [mm] $E\;$ [/mm] nicht endlichdim. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt eine unendliche linear unabhängige Teilmenge $A [mm] \subset [/mm] E$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ich wähle aus [mm] $A\;$ [/mm] eine abzählbare Teilmenge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] aus, sodass [mm] $a_i \not=a_j$ [/mm] für $i [mm] \not=j$.
[/mm]
Nun betrachte ich die Folge [mm] $b_k [/mm] = [mm] \frac{a_k}{||a_k||}$. [/mm] Diese ist offenbar beschränkt und nicht kompakt. Ich denke auch, dass sie nicht abgeschlossen ist. Ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen kann.
Bin ich überhaupt auf der richtigen Fährte? Falls nein, wie könnte ein anderer Ansatz aussehen?
(ii) Sei $B [mm] \subset \IK^\IN$ [/mm] beschränkt und abgeschlossen. Wir müssen zeigen, dass [mm] $B\;$ [/mm] kompakt ist.
Nach einer Aufgabe eines vorhergehenden Übungsblatts gilt: Da [mm] $B\;$ [/mm] beschränkt, gibt es eine Folge [mm] $(M_k)_k \subset \IR: |x_k| \leq M_k$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] B$.
Ich fasse nun die jeweils k-ten Komponenten der Folgen aus B in der Menge [mm] $B_k$ [/mm] zumsammen: [mm] $B_k [/mm] = [mm] \{x_k \in \IK \;|\; (x_n)_n \in B\}$.
[/mm]
[mm] $B_k$ [/mm] ist beschränkt, da [mm] $B_k \subset B_{M_k}(0)$ [/mm] für alle [mm] $k\;$
[/mm]
Da die Abbildung [mm] $\IK^\IN \to \IK: (x_n)_n \mapsto x_k$ [/mm] stetig ist, ist [mm] $B_k\;$ [/mm] darüber hinaus abgeschlossen also ist [mm] $B_k \subset \IK$ [/mm] kompakt. Nach Tychonoff ist dann auch $B = [mm] \produkt_{k \in \IN} B_k$ [/mm] kompakt.
Stimmt die Argumentation? Falls nicht, wie soll man sonst ansetzen?
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Di 15.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lippel,
[mm] $\IQ,$ [/mm] wird mit [mm] $||r||=|r|\; (r\in\IQ)$ [/mm] zu einem endlich dimensionalen normierten Raum, der nicht die Heine-Borel-Eigenschaft hat. Daher ist die Aussage (i) falsch.
Um Dir zu helfen, müssen wir wissen, für welche Räume Ihr den Satz von Heine-Borel bewiesen habt und wie (i) genau heißt.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Di 15.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Wolfgang,
> [mm]\IQ,[/mm] wird mit [mm]||r||=|r|\; (r\in\IQ)[/mm] zu einem endlich
> dimensionalen normierten Raum, der nicht die
> Heine-Borel-Eigenschaft hat. Daher ist die Aussage (i)
> falsch.
[mm] $\IQ$ [/mm] ist als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] doch nicht abgeschlossen, oder? Es gibt doch konvergente Folgen, deren Grenzwerte nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen.
Die Aufgabenstellung lautet in jedem Fall genau so.
> Um Dir zu helfen, müssen wir wissen, für welche Räume
> Ihr den Satz von Heine-Borel bewiesen habt und wie (i)
> genau heißt.
Den Satz von Heine-Borel haben wir für [mm] $\IR^n$. [/mm] Aber in [mm] $\IK^n$ [/mm] müsste er doch auch gelten, oder? Ich dachte das zumindest wegen [mm] $\IC^n \cong \IR^{2n}$
[/mm]
Wir haben auch noch einen Satz in der Vorlesung gehabt, bei dem ich dachte man könnte ihn vielleicht verwenden, ich wusste aber nicht wie:
Ist $(X,d)$ metr. VR. Dann sind äquivalent:
1. [mm] $dim\;V [/mm] = N < [mm] \infty$
[/mm]
2. Es gibt ein $r > [mm] 0\;$ [/mm] mit [mm] $\overline{B_r(0)}$ [/mm] kompakt.
Viele Grüße,
Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 15.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Es gibt eine Folge rationaler Zahlen [mm] $(r_n)$, [/mm] die in [mm] $\IR$ [/mm] gegen [mm] $\sqrt [/mm] 2$ konvergiert. Weil [mm] $\sqrt 2\notin \IQ$, [/mm] konvergiert die Folge nicht in [mm] $\IQ$. [/mm] Daher hat die Menge [mm] $M=\{r_n\colon n\in\IN\}$ [/mm] keine rationalen Häufungspunkte und ist somit in [mm] $\IQ$ [/mm] abgeschlossen. Da $M$ zusätzlich beschränkt ist, müßte $M$ nach (i) kompakt sein. Dies ist aber nicht der Fall!
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Wolfgang,
>
> > [mm]\IQ,[/mm] wird mit [mm]||r||=|r|\; (r\in\IQ)[/mm] zu einem endlich
> > dimensionalen normierten Raum, der nicht die
> > Heine-Borel-Eigenschaft hat. Daher ist die Aussage (i)
> > falsch.
>
> [mm]\IQ[/mm] ist als Teilmenge von [mm]\IR[/mm] doch nicht abgeschlossen,
> oder? Es gibt doch konvergente Folgen, deren Grenzwerte
> nicht in [mm]\IQ[/mm] liegen.
> Die Aufgabenstellung lautet in jedem Fall genau so.
>
>
> > Um Dir zu helfen, müssen wir wissen, für welche Räume
> > Ihr den Satz von Heine-Borel bewiesen habt und wie (i)
> > genau heißt.
>
> Den Satz von Heine-Borel haben wir für [mm]\IR^n[/mm]. Aber in
> [mm]\IK^n[/mm] müsste er doch auch gelten, oder? Ich dachte das
> zumindest wegen [mm]\IC^n \cong \IR^{2n}[/mm]
> Wir haben auch noch
> einen Satz in der Vorlesung gehabt, bei dem ich dachte man
> könnte ihn vielleicht verwenden, ich wusste aber nicht
> wie:
> Ist [mm](X,d)[/mm] metr. VR. Dann sind äquivalent:
> 1. [mm]dim\;V = N < \infty[/mm]
> 2. Es gibt ein [mm]r > 0\;[/mm] mit
> [mm]\overline{B_r(0)}[/mm] kompakt.
Das ist doch prima !. Zeige:
Ist (X,d) metr. VR. Dann sind äquivalent:
1. $ [mm] dim\;V [/mm] = N < [mm] \infty [/mm] $
2. Es gibt ein $ r > [mm] 0\; [/mm] $ mit $ [mm] \overline{B_r(0)} [/mm] $ kompakt.
3. Für jedes r>0 ist $ [mm] \overline{B_r(0)} [/mm] $ kompakt.
4. jede beschränkte und abgeschlossene Teilmemge von V ist kompakt.
FRED
>
> Viele Grüße,
> Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Danke, das hat sehr gehlofen.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Lippel,
>
> [mm]\IQ,[/mm] wird mit [mm]||r||=|r|\; (r\in\IQ)[/mm] zu einem endlich
> dimensionalen normierten Raum, der nicht die
> Heine-Borel-Eigenschaft hat. Daher ist die Aussage (i)
> falsch.
Achtung ! Definitionsgemäß ist ein normierter Raum ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC.
[/mm]
Dein Beispiel mit [mm] \IQ [/mm] taugt also nichts.
FRED
>
> Um Dir zu helfen, müssen wir wissen, für welche Räume
> Ihr den Satz von Heine-Borel bewiesen habt und wie (i)
> genau heißt.
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Di 15.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Achtung ! Definitionsgemäß ist ein normierter Raum ein
> Vektorraum über [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC.[/mm]
Ah! Vielen Dank für die Aufklärung!
Gruß, Wolfgang
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