Heisenberg-Gruppe < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:32 Mi 14.12.2016 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | Sei H:= { [mm] \begin{pmatrix}
1 & x & z\\
0 & 1 & y\\
0&0&1\\
\end{pmatrix} [/mm] | x,y,z [mm] \in \IR [/mm] } die Heisenberg-Gruppe.
a) Zeigen Sie, dass H mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Gruppe bildet.
b) Wenn wir x,y,z als Koordinaten in [mm] \IR^{3} [/mm] betrachten, so bekommen wir eine Lie-Gruppen-Struktur auf [mm] \IR^{3}. [/mm] Es folgt, dass Lie(H) = [mm] \IR^{3}. [/mm] Bestimmen Sie die links-invarianten Vektorfelder P,Q,R zur Standard-Basis [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \in \IR^3 [/mm] und berechnen Sie die Lie-Klammern. |
Hallo zusammen,
ich muss diese Aufgaben am Freitag abgeben und stehe ganz gewaltig auf dem Schlauch und bin für jede Hilfe dankbar.
zu a) Dass H eine Gruppe ist, ist klar. Wie könnte man Abgeschlossenheit zeigen? In allgemeinen metrischen Räumen ist eine Menge ja genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, aber das hilft mir nicht wirklich. Ich hatte mir auch überlegt, dass man wegen H [mm] \subseteq GL(3,\IR) \cong \IR^{9} [/mm] ja gewissermaßen auch H als eine Teilmenge von [mm] \IR^9 [/mm] auffassen könnte. Hier könnte man vielleicht einfacher argumentieren (als Teilmenge eines [mm] \IR^n)? [/mm] Ich weiß aber auch nicht recht, wie.
zu b) Erst einmal zum Verständnis zum ersten Teil der Aufgabe. Wir bekommen eine Lie-Gruppen-Struktur auf [mm] \IR^3 [/mm] , weil H [mm] \cong \IR^3 [/mm] ist, oder? Und dann ist [mm] Lie(H)=Lie(\IR^3)=\IR^3, [/mm] oder wie ist dieser Teil gemeint?
Zur Aufgabe selbst. Also ich bin mir hier schon gar nicht sicher, wie man die Lie-Algebra Lie(H) bestimmt. Muss man das überhaupt? Online findet man, dass Lie(H) = { [mm] \begin{pmatrix}
0 & x & z\\
0 & 0 & y\\
0&0&0\\
\end{pmatrix} [/mm] | x,y,z [mm] \in \IR [/mm] } gilt. Warum das so ist, ist mir unklar. Es ist ja Lie(H) = [mm] T_{Id}H [/mm] = Menge der linksinvarianten Vektorfelder auf H nach Definition 5.5 auf S.42 (https://www.dropbox.com/sh/nqtcl635u0hkxzv/AADwbOnq7zUzCtDaLvqmZTk7a/Skript/diffgeo-skrip2016.pdf?dl=0). Aber wie berechne ich diese Lie-Algebra? Hatten hierzu keine Beispiele in der Vorlesung.
Zu den links-invarianten Vektorfeldern: Ich weiß, wann ein Vektorfeld links-invariant heißt (Definition 5.3 auf S. 41). Aber wie kann ich die Vektorfelder hier ausrechnen? Helfen mir hier vielleicht die Bemerkungen nach Definition 5.3?
Tut mir Leid für die vielen Fragen, aber ich verstehe wirklich so gut wie nichts, obwohl ich das Skript nachgearbeitet habe. Wäre schon sehr dankbar, wenn ein Teil der Fragen geklärt werden würde, vielen Dank!
Liebe Grüße und DANKE
Kai
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mi 14.12.2016 | | Autor: | kai1992 |
...zur Lie-Algebra.
Also wir wissen ja, dass exp: Lie(H) [mm] \mapsto [/mm] H gilt (Exponentialabbildung). Angenommen, A [mm] \in [/mm] Lie(H). Dann muss exp(A) [mm] \in [/mm] H gelten. Man kann zeigen (glaube ich, zumindest geht das für [mm] GL(n,\IR) [/mm] und dann sicher auch für eine Teilmenge), dass exp hier gerade das Matrixexponential ist. Wegen exp(A) = [mm] I_{3} [/mm] + A + A²/2 + [mm] A^{³}/6 [/mm] + ... muss A auf den Diagonalen schon einmal 0'en haben, da ein Element in H auf der Diagonale lauter 1'en hat. Im "unteren Block" darf ebenfalls nichts stehen, da ein Element in H hier 0'en hat. Im oberen Block darf stehen, was will. Ist diese Idee richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Sa 17.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
