Herleitung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 30.11.2008 | | Autor: | Ve123 |
Wir sollen beweisen dass:
[mm] (b/n)^2 [/mm] * b/n + [mm] (2b/n)^2 [/mm] * (b/n) + ... + [mm] (((n-1)*b)/n)^2
[/mm]
=
[mm] b^3/6 [/mm] * (1- 1/n) * (2-2/n)
ist
kann mir jemand einen tipp geben wie ich die herleitung beginne? habs mit ausmultiplizieren versucht aber besonders die 6 im nenner der lösung irritiert mich sehr!!!
|
|
| |
|
> Wir sollen beweisen dass:
>
> [mm](b/n)^2[/mm] * b/n + [mm](2b/n)^2[/mm] * (b/n) + ... + [mm](((n-1)*b)/n)^2[/mm]
Fehlt da nicht beim letzten Summanden der Faktor b/n ??
>
> = [mm]b^3/6[/mm] * (1- 1/n) * (2-2/n)
|
|
|
| |
|
Du musst solange vereinfachen, bis du eine Reihe durch eine Summenformel ersetzen kannst, ich habs bis hierhin:
Dabei gehe ich davon aus, dass du einen Fehler in deiner Reihe hast, da auch am Ende b/n stehen müsste, ja?
> Wir sollen beweisen dass:
>
> [mm](b/n)^2[/mm] * b/n + [mm](2b/n)^2[/mm] * (b/n) + ... + [mm](((n-1)*b)/n)^2[/mm]
>
> =
>
> [mm]b^3/6[/mm] * (1- 1/n) * (2-2/n)
>
$ [mm] \bruch{b}{n}*(\bruch{b}{n})^2+\bruch{b}{n}*(\bruch{2b}{n})^2+...+\bruch{b}{n}*(\bruch{(n-1)*b}{n})^2 [/mm] $
$ [mm] \bruch{b}{n}*[(\bruch{b}{n})^2+(\bruch{2b}{n})^2+...+(\bruch{(n-1)b}{n})^2] [/mm] $
$ [mm] \bruch{b}{n}*[\bruch{b^2}{n^2}+\bruch{(2b)^2}{n^2}+...+\bruch{((n-1)b)^2}{n^2}] [/mm] $
$ [mm] \bruch{b}{n^3}*[b^2+(2b)^2+...+((n-1)b)^2] [/mm] $
$ [mm] \bruch{b}{n^3}*[b^2+2^2b^2+...+(n-1)^2b^2] [/mm] $
$ [mm] \bruch{b^3}{n^3}*[1^2+2^2+...+(n-1)^2] [/mm] $
Jetzt gibt es eine Summenformel für die Reihe natürlicher Quadratzahlen: $ [mm] \bruch{n}{6}*(n+1)*(2n+1) [/mm] $
Aufpassen müssen wir nur mit dem Einsetzen für n! Da wir nicht bis n gehen sondern bis n-1 muss jedes n in der Formel mit n-1 bei uns ersetzt werden!
$ [mm] \bruch{b^3}{n^3}*[\bruch{n-1}{6}*(n-1+1)*(2*(n-1)+1)] [/mm] $
Soweit mein Anteil
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 30.11.2008 | | Autor: | Ve123 |
wir haben auch eine summenformel aufgeschrieben:
((n-1) * n * (2n-1)) / 6
iwie sieht die mir ein wenig anders aus oder? Wieso steht in meiner formel jeweils -1 ?
hab mal versucht das ein wenig zusammenzufassen:
>
> [mm]\bruch{b^3}{n^3}*[\bruch{n-1}{6}*(n-1+1)*(2*(n-1)+1)][/mm]
>
> Soweit mein Anteil
[mm] b^3/n^3 [/mm] * [ (n-1)/6 * n * (2n - 2 + 1) ]
=
[mm] b^3/n^3 [/mm] * [ (n-1) / 6 * n * (2n - 1) ]
wie bring ich dann das [mm] b^3/n^3 [/mm] mit ein ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ve!
> wir haben auch eine summenformel aufgeschrieben:
> ((n-1) * n * (2n-1)) / 6
> iwie sieht die mir ein wenig anders aus oder? Wieso steht
> in meiner formel jeweils -1 ?
Dann ist ist Deiner Formel bereits berücksichtigt, dass nur bis zur Zahl $(n-1)_$ aufsummiert wird.
> = [mm]b^3/n^3[/mm] * [ (n-1) / 6 * n * (2n - 1) ]
> wie bring ich dann das [mm]b^3/n^3[/mm] mit ein ?
Klammere im Zähler bzw. in der eckigen Klammer jeweils den Term $n_$ (also insgesamt [mm] $n^3$ [/mm] aus und kürze.
Anschließend dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
