Herleitung Additionstheoreme < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi, Leute.
Ich wollte mal fragen, wie man sich (möglichst einfach) die Additionstheoreme herleiten kann. Meine Lehrerin meinte ja, dass wir das in der 10. gemacht haben sollen (hatte zu der Zeit eine andere). Aber das haben wir nie gemacht und aus dem Stehgreif kann ich das auch nicht herleiten. Kennst jemand eine gute Seite bzw. hat Lust das selber zu machen?
Damit es nicht zu Missverständnissen kommt: Ich meine diese Teile wie
[mm] cos(\alpha+\beta)=cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta
[/mm]
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Die Theoreme kann man sich über die Exponentialformen der triogonometrischen Funktionen herleiten.
[mm] sin(z)=\bruch{1}{2i}*(e^{iz}-e^{-iz})
[/mm]
[mm] cos(z)=\bruch{1}{2}*(e^{iz}+e^{-iz})
[/mm]
statt z setzt jetzt eben dein [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] ein, dann bissl rumrechnen, später wieder in Trig. Funktionen umrechnen, dann sollte genau das rauskommen, was in den Formelsammlungen steht.
PS: Schau mal auf http://de.wikipedia.org/wiki/Cosinus da steht das recht gut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi, danke für die Hilfe erstmal. Gibt es noch eine einfachere (schülerfreundliche) Herleitung? Sie sagt, das sollte schon in der 10. dran gewesen sein.
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Evtl. kannste das auch über ne Reihenentwicklung der Trig. Funktionen machen (und dann evtl. umindizieren oä.), aber ob das unbedingt einfacher ist?? Glaub ich nicht wirklich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Hm ne, hatten wir alles noch nicht. Danke trotzdem für die Hilfe! Vielleicht weiß ja sonst jemand noch was.
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> Hm ne, hatten wir alles noch nicht. Danke trotzdem für die
> Hilfe! Vielleicht weiß ja sonst jemand noch was.
Ja, sonst jemand wusste noch was. Ich denke, diese Frage ist nicht mehr wirklich offen. - Oder täusche ich mich da? - Es macht doch keinen Sinn, unnötig andere Leser auf eine Frage aufmerksam zu machen, die hinreichend beantwortet wurde.
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> Evtl. kannste das auch über ne Reihenentwicklung der Trig.
> Funktionen machen (und dann evtl. umindizieren oä.), aber
> ob das unbedingt einfacher ist?? Glaub ich nicht wirklich
Eine rein geometrische Überlegung, für spitze Winkel, kann man aus folgender Skizze ablesen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und zwar gleichzeitig das Additionstheorem für Sinus und Cosinus: obwohl an sich natürlich eines dieser beiden Additionstheoreme schon genügt, weil man die restlichen Additionstheoreme, für die Co-Funktion und den Tangens/Cotangens, dann rein algebraisch aus dem einen Additionstheorem gewinnen kann, das man mittels einer solchen elementar-geometrischen Überlegung nachgewiesen hat.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke,d as sieht schon mal cool aus ;) aber wie kommt man auf diese ganzen Seitenlängen? [mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] und [mm] sin(\alpha+\beta) [/mm] verstehe ich, aber die Strecken mit den Produkten nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 26.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hi!
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> Danke,d as sieht schon mal cool aus ;) aber wie kommt man
> auf diese ganzen Seitenlängen? [mm]cos(\alpha+\beta)[/mm] und
> [mm]sin(\alpha+\beta)[/mm] verstehe ich, aber die Strecken mit den
> Produkten nicht.
Die kommen durch blosse Streckung eines rechtwinkligen Dreiecks zustande. Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzem Winkel [mm]\beta[/mm] und Hypothenusenlänge [mm]1[/mm] ist die Länge der Ankathete gerade [mm]\cos(\beta)[/mm], nicht?
Angenommen Du streckst nun ein zweites rechtwinkliges Dreieck mit spitzem Winkel [mm]\alpha[/mm] und ebenfalls Hypothenusenlänge [mm]1[/mm] (und demnach Ankathetenlänge [mm]\cos(\alpha)[/mm]) so, dass seine Hypothenusenlänge nicht mehr [mm]1[/mm], sonder nur noch [mm]\cos(\beta)[/mm] beträgt. Wie lang ist dann die Ankathete des so um den Faktor [mm]\cos(\beta)[/mm] gestreckten Dreiecks? Antwort: gleich [mm]\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)[/mm] (und dies ist bereits die "Hälfte" des Additionstheorems des [mm]\cos[/mm]).
Wenn Du diese Art von Überlegung verstanden hast, verstehst Du schon beinahe die ganze Skizze. Dann musst Du nur noch überlegen, weshalb die beiden mit [mm]\alpha[/mm] benannten Winkel tatsächlich gleich gross sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, nun hab ichs endlich verstanden :P war ja eigentlich offensichtlich, aber naja... liegt vielleicht daran dass ich in letzter Zeit nicht viel Schlaf hatte. Ok, nun weiß ich wie man drauf kommt und auch, warum der eine Winkel da auch Alpha ist.
Vielen Dank.
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