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| Aufgabe | | Leite die Normalenform einer Ebenengleichung her. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eine Möglichkeit, Ebenen zu beschreiben ist die Normalenform einer Ebenengleichung.
Dazu braucht man den Normalenvektor.
Der Normalenvektor...
- ist orthogonal zu den linear unabhängigen Spannvektoren [mm] \overrightarrow{u} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v}
[/mm]
- ist also orthogonal zu allen Vektoren [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] mit Punkten P und Q in der Ebene E.
(denn aus [mm] \overrightarrow{PQ}=r*\overrightarrow{u}+s*\overrightarrow{v} [/mm] folgt:
[mm] \overrightarrow{PQ}*\overrightarrow{n}=(r*\overrightarrow{u}+s*\overrightarrow{v})*\overrightarrow{n}
[/mm]
[mm] =r*\overrightarrow{u}*\overrightarrow{n}+s*\overrightarrow{v}*\overrightarrow{n}
[/mm]
=0+0
=0
Frage: Mir ist nicht ganz klar wie man auf die Gleichung 0+0=0 kommt
Wenn [mm] \overrightarrow{n} [/mm] ein Normalenvektor der Ebene E mit [mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r*\overrightarrow{u}+s*\overrightarrow{v} [/mm] ist, dann liegt der Punkt X genau dann in E, wenn für den Ortsvektor [mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OX} [/mm] gilt:
[mm] \overrightarrow{x}-\overrightarrow{p} [/mm] ist orthogonal zu [mm] \overrightarrow{n}
[/mm]
Daher ist auch [mm] (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})*\overrightarrow{n}=0 [/mm] eine Gleichung der Ebene E.
Frage: Mir leuchtet nicht ganz ein, warum diese Gleichung die Ebene beschreibt.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Schon mal vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 04.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Leite die Normalenform einer Ebenengleichung her.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Eine Möglichkeit, Ebenen zu beschreiben ist die
> Normalenform einer Ebenengleichung.
> Dazu braucht man den Normalenvektor.
> Der Normalenvektor...
> - ist orthogonal zu den linear unabhängigen
> Spannvektoren [mm]\overrightarrow{u}[/mm] und [mm]\overrightarrow{v}[/mm]
> - ist also orthogonal zu allen Vektoren
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] mit Punkten P und Q in der Ebene E.
> (denn aus
> [mm]\overrightarrow{PQ}=r*\overrightarrow{u}+s*\overrightarrow{v}[/mm]
> folgt:
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}*\overrightarrow{n}=(r*\overrightarrow{u}+s*\overrightarrow{v})*\overrightarrow{n}[/mm]
>
> [mm]=r*\overrightarrow{u}*\overrightarrow{n}+s*\overrightarrow{v}*\overrightarrow{n}[/mm]
> =0+0
> =0
>
> Frage: Mir ist nicht ganz klar wie man auf die Gleichung
> 0+0=0 kommt
Hallo,
der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf JEDEM Vektor in dieser Ebene.
Damit steht er auch senkrecht auf den beiden Vektoren, die diese Ebene aufspannen.
Soweit klar?
Das Skalarprodukt zweier aufeinander senkrecht stehender Vektoren ist Null.
Da [mm] \vec{n} [/mm] auf zwei Vektoren senkrecht steht, sind zwei Skalarprodukte Null...
Gruß Abakus
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> Wenn [mm]\overrightarrow{n}[/mm] ein Normalenvektor der Ebene E mit
> [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r*\overrightarrow{u}+s*\overrightarrow{v}[/mm]
> ist, dann liegt der Punkt X genau dann in E, wenn für den
> Ortsvektor [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OX}[/mm] gilt:
> [mm]\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}[/mm] ist orthogonal zu
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm]
>
> Daher ist auch
> [mm](\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})*\overrightarrow{n}=0[/mm]
> eine Gleichung der Ebene E.
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> Frage: Mir leuchtet nicht ganz ein, warum diese Gleichung
> die Ebene beschreibt.
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen
> könnte.
> Schon mal vielen Dank im Voraus!
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