Herleitung Runge-Kutta < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Gosset |
Es geht um die Herleitung des Runge-Kutta Verfahrens, wobei ich einiges nicht nachvollziehen kann:
geg.:
y'=f(x,y(x)) und ein Anfangswert: [mm] y(x_0)=y_0
[/mm]
ges.: vom Anfangswert mit der Schrittweite h entfernter Wert [mm] y(x_0+h)=?
[/mm]
[mm] \integral_{x_0}^{x_0+h}{y'(x) dx}=\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x,y(x)) dx}
[/mm]
[mm] y(x_0+h)=y(x_0)+\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x,y(x)) dx}
[/mm]
auf das Integral [mm] K:=\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x,y(x)) dx} [/mm] wird nun die Keplersche Fassregel (Simpsonregel) angewandt:
[mm] K\approx h/6*[f(x_0,y_0)+4f(x_0+h/2,y(x_0+h/2))+f(x_0+h,y(x_0+h))] [/mm]
Nun werden die letzten 2 Glieder in einer quadratischen Taylorreihe entwickelt und mit h multipliziert womit man zu K [mm] \approx 1/6*(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
[/mm]
mit
[mm] k_1=h*f(x_0,y_0)
[/mm]
[mm] k_2=h*f(x_0+h/2,y_0+k1/2)
[/mm]
[mm] k_3=h*f(x_0+h/2,y_0+k2/2)
[/mm]
[mm] k_4=h*f(x_0+h,y_0+k3)
[/mm]
Ich würde gerne wissen wie die Taylorreihe für [mm] f(x_0+h/2,y(x_0+h/2)) [/mm] und [mm] f(x_0+h,y(x_0+h)) [/mm] aussieht weil ich nicht ganz verstehe wie man zu den "k's" kommt?
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Hallo Gosset,
> Es geht um die Herleitung des Runge-Kutta Verfahrens, wobei
> ich einiges nicht nachvollziehen kann:
>
> geg.:
> y'=f(x,y(x)) und ein Anfangswert: [mm]y(x_0)=y_0[/mm]
> ges.: vom Anfangswert mit der Schrittweite h entfernter
> Wert [mm]y(x_0+h)=?[/mm]
>
> [mm]\integral_{x_0}^{x_0+h}{y'(x) dx}=\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x,y(x)) dx}[/mm]
>
> [mm]y(x_0+h)=y(x_0)+\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x,y(x)) dx}[/mm]
>
> auf das Integral [mm]K:=\integral_{x_0}^{x_0+h}{f(x,y(x)) dx}[/mm]
> wird nun die Keplersche Fassregel (Simpsonregel)
> angewandt:
>
> [mm]K\approx h/6*[f(x_0,y_0)+4f(x_0+h/2,y(x_0+h/2))+f(x_0+h,y(x_0+h))][/mm]
>
> Nun werden die letzten 2 Glieder in einer quadratischen
> Taylorreihe entwickelt und mit h multipliziert womit man zu
> K [mm]\approx 1/6*(k_1+2k_2+2k_3+k_4)[/mm]
>
> mit
> [mm]k_1=h*f(x_0,y_0)[/mm]
> [mm]k_2=h*f(x_0+h/2,y_0+k1/2)[/mm]
> [mm]k_3=h*f(x_0+h/2,y_0+k2/2)[/mm]
> [mm]k_4=h*f(x_0+h,y_0+k3)[/mm]
>
> Ich würde gerne wissen wie die Taylorreihe für
> [mm]f(x_0+h/2,y(x_0+h/2))[/mm] und [mm]f(x_0+h,y(x_0+h))[/mm] aussieht weil
> ich nicht ganz verstehe wie man zu den "k's" kommt?
>
[mm]f\left(x_{0}+\bruch{h}{2},y\left(x_{0}+\bruch{h}{2}\right)\right) \approx f\left(x_{0},y\left(x_{0}\right)\right)+\bruch{h}{2}*f_{x}\left(x_{0},y\left(x_{0}\right)\right)+f_{y}\left(x_{0},y\left(x_{0}\right)\right)*\left(y\left(x_{0}+\bruch{h}{2}\right)-y\left(x_{0}\right)\right)[/mm]
[mm]+\bruch{h^{2}}{2}*f_{xx}\left(x_{0},y\left(x_{0}\right)\right)+\bruch{h}{2}*f_{xy}\left(x_{0},y\left(x_{0}\right)\right)*\left(y\left(x_{0}+\bruch{h}{2}\right)-y\left(x_{0}\right)\right)+\bruch{1}{2}*f_{yy}\left(x_{0},y\left(x_{0}\right)\right)*\left(y\left(x_{0}+\bruch{h}{2}\right)-y\left(x_{0}\right)\right)^{2}[/mm]
,wobei der Ausdruck [mm]y\left(x_{0}+\bruch{h}{2}\right)[/mm]
wiederum in eine Taylorreihe um [mm]x_{0}[/mm] zu entwickeln ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Gosset |
danke für die Hilfe, man entwickelt also um [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] das hilft mir schon ein Stück weiter, hab nicht recht verstanden was das bringen soll ;)
[mm] y\left(x_{0}+\bruch{h}{2}\right) \approx y(x_0)+y_x(x_0)*h/2+y''(x_0)*(h/2)^2
[/mm]
Nun wird nach [mm] y_x [/mm] vermutlich abgebrochen und eingesetzt? Scheint doch etwas komplexer zu sein als vorher gedacht, wollte für eine mündliche Prüfung nachvollziehen wie diese "Kochrezept-Formel" hergeleitet wird. Vorallem verwunderlich das bei [mm] k_1 [/mm] bis [mm] k_4 [/mm] keine partiellen Ableitungen mehr vorhanden sind.
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Hallo Gosset,
> danke für die Hilfe, man entwickelt also um [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm]
> das hilft mir schon ein Stück weiter, hab nicht recht
> verstanden was das bringen soll ;)
>
> [mm]y\left(x_{0}+\bruch{h}{2}\right) \approx y(x_0)+y_x(x_0)*h/2+y''(x_0)*(h/2)^2[/mm]
>
> Nun wird nach [mm]y_x[/mm] vermutlich abgebrochen und eingesetzt?
Ja.
y' bzw y'' kannst Du dann wieder mit Hilfe der gegebenen DGL ausdrücken.
> Scheint doch etwas komplexer zu sein als vorher gedacht,
> wollte für eine mündliche Prüfung nachvollziehen wie
> diese "Kochrezept-Formel" hergeleitet wird. Vorallem
> verwunderlich das bei [mm]k_1[/mm] bis [mm]k_4[/mm] keine partiellen
> Ableitungen mehr vorhanden sind.
Gruss
MathePower
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