Herleitung d. Formel von Binet < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Ich brauche mal eure Hilfe! Und zwar hab ich ein Problem bei der Herleitung von der Formel von Binet. Am Anfang betrachtet man ja allgemeine Zahlenfolgen, die die Bedingung [mm] V_{n}=V_{n-1}+V_{n-2} [/mm] erfüllen. So zum Beispiel die Folge [mm] 1,q,q^{2},q^{3},q^{4},... [/mm] , die die Bedingung durch [mm] q^{2}=q+1 [/mm] erfüllt. Dann hab ich gefunden, dass die Lösungen dieser quadratischen Gleichung folgende sind:
[mm] q_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] q_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Doch wie kommt man auf diese Lösungen? Ich hab es mit der p-q-Formel probiert, aber das klappt nicht!
Bitte antwortet mir! Wär echt nett!
Vielen Dank schon im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 16.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Elli
Vielleicht hat dich verwirrt, dass die Lösungsvariable ebenfalls q heisst.
Gesucht sind also die Lösungen von [mm] $q^2=q+1$.
[/mm]
Ich schreibe mal die Variable x statt q, dann ergibt sich [mm] $x^2=x+1$ [/mm] und alles auf eine Seite gebracht ergibt [mm] $x^2-x-1=0$.
[/mm]
Jetzt kann du mit der pq-Formel arbeiten: p=-1 und q=-1 und du solltest mittels [mm] $x=\frac12(-p\pm\sqrt{p^2-4q})$ [/mm] auf die genannten Lösungen kommen.
mfG Moudi
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Erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Das ist ja alles logisch. Hatte ich auch schon umgeformt! Aber ich habe die p-q-Formel ganz anders gelernt. Und zwar so:
[mm] x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{{{\bruch{p}{2}}^2}-q}
[/mm]
Die [mm] \bruch{p}{2} [/mm] unter der Wurzel natürlich in klammern.
Liegt das jetzt daran? Gibt es denn verschiedene p-q-Formeln???
Gruß Elli
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[mm]x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}
[/mm]
Nur so gehts !!!
Gruß Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Do 17.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Elli!
Beide Formeln (Deine, übliche Schreibweise und Moudi's) sind doch identisch:
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^{2}-q}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p^2}{4} - q}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p^2}{4} - \bruch{4*q}{4}}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p^2 - 4*q}{4}}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2} \pm \bruch{\wurzel{p^2 - 4*q}}{\wurzel{4}}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2} \pm \bruch{\wurzel{p^2 - 4*q}}{2}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(-p\right) \pm \bruch{1}{2}*\wurzel{p^2 - 4*q}$
[/mm]
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(-p \pm \wurzel{p^2 - 4*q} \ \right)$
[/mm]
Klar nun?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 17.03.2005 | | Autor: | Elli160687 |
Vielen vielen Dank an alle, die mir geantwortet haben. habt mir sehr geholfen. War ja eigentlich gar nicht so schwer! Danke!!!
Viele Grüße
Elli
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