Herleitung d. Formel von Binet < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle!!!
Ich hab da ein paar Fragen zu der Herleitung von der Formel von Binet. Zunächst die Herleitung:
Die Formel lautet wie folgt:
[mm] f_{n}=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+ \wurzel{5}}{2})^n-((\bruch{1- \wurzel{5}}{2})^n)
[/mm]
Um zu einer solchen Gleichung zu gelangen beginnt man sich mit Zahlenfolgen, wie die Fibonacci-Folge eine ist, auseinanderzusetzen. Diese Art von Folgen müssen durch die Gleichung [mm] V_{n}=V_{n-1}+V_{n-2} [/mm] definiert sein. Eine dieser Folgen ist [mm] 1,q,q^{2},q^{3},q^{4},... [/mm] , die die Bedingung [mm] q^{2}=q+1 [/mm] erfüllt. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind nach der p-q-Formel
[mm] q_{1}= \bruch{1+\wurzel{5}}{2}= \emptyset [/mm] und [mm] q_{2}= \bruch{1-\wurzel{5}}{2}= \hat\emptyset.
[/mm]
Daraus entstehen also die beiden Folgen
[mm] V'_{n}=\emptyset^{n} [/mm] und [mm] V''_{n}=\hat\emptyset^{n}.
[/mm]
Wenn man nun die beiden Gleichungen V'_{n}=V'_{n-1}+V'_{n-2} und V''_{n}=V''_{n-1}+V''_{n-2} , die sich aus den Folgen ergeben, mit Faktoren (x; y) multipliziert
[mm] x\*V'_{n}=x\*V'_{n-1}+x\*V'_{n-2} \wedge y\*V''_{n}=y\*V''_{n-1}+y\*V''_{n-2}
[/mm]
und anschließend addiert, bekommt man
[mm] x\*V'_{n}+y \*V''_{n}=(x \*V'_{n-1}+y \*V''_{n-1})+(x \*V'_{n-2}+y \*V''_{n-2})
[/mm]
Dadurch wird die Gleichung [mm] V_{n}=V_{n-1}+V_{n-2} [/mm] von der Folge [mm] V_{n}=x \*V'_{n}+y \*V''_{n}=x \* \emptyset^{n}+y\*\hat \emptyset^{n} [/mm] erfüllt. Nun ist es möglich die Faktoren x und y so zu bestimmen, sodass [mm] V_{n}=f_{n} [/mm] ist. Durch diese Gleichsetzung ergibt sich ein Gleichungssystem für die beiden Startwerte:
[mm] V_{1}=f_{1} \wedge V_{2}=f_{2} [/mm] oder genauer x+y=0 [mm] \wedge x\* \emptyset+y\*\hat \emptyset=1
[/mm]
Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt
x= [mm] \bruch{1}{ \emptyset-\hat \emptyset}=\bruch{1}{ \wurzel{5}} [/mm] und [mm] y=-\bruch{1}{ \wurzel{5}}
[/mm]
Diese Lösungen werden in die eben erwähnte Gleichung [mm] V_{n}=x\* \emptyset^{n}+y\*\hat \emptyset^{n} [/mm] eingesetzt, womit wir dieses erhalten
[mm] V_{n}=\bruch{1}{\wurzel{5}} \emptyset^{n}-\bruch{1}{\wurzel{5}} \hat\emptyset^{n}.
[/mm]
Umgeformt sieht dies so aus
[mm] V_{n}=\bruch{ \emptyset^{n}-\hat \emptyset^{n}}{\wurzel{5}}.
[/mm]
So erhält man die Formel von Binet, da es nur noch notwendig ist die Werte von [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \hat \emptyset [/mm] einzusetzen. Folglich sieht die Formel wie am Anfang gezeigt aus:
[mm] f_{n}=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+ \wurzel{5}}{2})^n-((\bruch{1- \wurzel{5}}{2})^n)
[/mm]
Nun habe ich vier Fragen dazu:
1) Warum multipliziert man die Folgen V'_{n}=V'_{n-1}+V'_{n-2} und V''_{n}=V''_{n-1}+V''_{n-2}
mit Faktoren? Was möchte man dadurch erreichen?
2) Aus welchem Grund addiert man diese anschließend?
3) Wie wird aus [mm] x\*V'_{n}+y\*V''_{n} [/mm] (auf der linken Seite des Gleichheitszeichens nach der Addition) zu [mm] V_{n} [/mm] ?
4) Wie löst sich das Gleichungssystem zu [mm] x=\bruch{1}{\emptyset-\hat\emptyset} [/mm] und [mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] ?
Vielen Dank schon im Voraus für eure Antworten!!!
Gruß, Elena!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> 1) Warum multipliziert man die Folgen
> V'_{n}=V'_{n-1}+V'_{n-2} und V''_{n}=V''_{n-1}+V''_{n-2}
> mit Faktoren? Was möchte man dadurch erreichen?
> 2) Aus welchem Grund addiert man diese anschließend?
> 3) Wie wird aus [mm]x\*V'_{n}+y\*V''_{n}[/mm] (auf der linken Seite
> des Gleichheitszeichens nach der Addition) zu [mm]V_{n}[/mm] ?
Dieses drei Fragen lassen sich wohl am besten in einem beantworten:
Sowohl [mm] $V_n'$ [/mm] als auch [mm] $V_n''$ [/mm] sind Lösungen deiner Gleichung [mm] $V_n=V_{n-1}+V_{n-2}$. [/mm] Aber: [mm] $V_0'=1,V_1'=\theta$ [/mm] und [mm] $V_0''=1,V_1''= \hat\theta$. [/mm] Die Fibonacci-Zahlen haben aber die Anfangsbedingungen [mm] $F_0=0,\ F_1=1$! [/mm] Deshalb kommt man auf die Idee, sich eine neue Folge zu definieren: [mm] $V_n:=x V_n'+y V_n''$. [/mm] Setz' das mal in deine Gleichung ein, du wirst feststellen, dass auch [mm] $V_n$ [/mm] die Gleichung löst!
Jetzt hast du die Möglichkeit, $x$ und $y$ so zu bestimmen, dass deine Folge [mm] $V_n$ [/mm] auch die richtigen Anfangsbedingungen hat!
So kommt man dann zum Gleichungssystem aus Frage 4...
> 4) Wie löst sich das Gleichungssystem zu
> [mm]x=\bruch{1}{\emptyset-\hat\emptyset}[/mm] und [mm]y=-\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] ?
Du hast ja $x+y=0$, also $y=-x$. Das setzt du ein in [mm] $x*\theta+y*\hat\theta=1$, [/mm] also ist dann [mm] $x*\theta-x\hat\theta=1$. [/mm] Das formt sich um zu [mm] $x=\bruch{1}{\theta-\hat\theta}$. [/mm] Wenn du dort jetzt einsetzst, dass [mm] $\theta=\bruch{1+\sqrt{5}}{2}$ [/mm] und [mm] $\hat\theta=\bruch{1-\sqrt{5}}{2}$, [/mm] dann kommt gerade heraus, dass [mm] $x=\bruch{1}{\sqrt{5}}$ [/mm] und [mm] $y=-\bruch{1}{\sqrt{5}}$.
[/mm]
Ich hoffe, dass ich's einigermaßen gut erklärt habe... Hat es dir weitergeholfen? Oder hast du noch Fragen dazu?
Gruß, banachella
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Also erstmal vielen vielen Dank, dass du geantwortet hast.
Allerdings bleiben mir immer noch 2 Sachen unklar. Und zwar ist es ja beim Auflösen des Gleichungssystems so, dass auf der linken Seite eigendlich 0 steht. Oder ich hab grad nen totalen Rechenfehler. Also ich hatte das immer so eingesetzt wie du auch gesagt hast und anschließend so aufgelöst:
[mm] x\* \emptyset-x\*\hat \emptyset=1 [/mm] | :( [mm] \emptyset-\hat \emptyset)
[/mm]
[mm] x-x=\bruch{1}{\emptyset-\hat \emptyset}
[/mm]
x-x ergibt ja dann 0!
Und das zu Frage 3) hab ich auch noch nicht so richtig kapiert. Wär schön, wenn du das nochmal erklären könntest!
Sonst hat es mir aber schon weitergeholfen. Danke!
Gruß, Elena.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Do 19.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Elena!
> Also erstmal vielen vielen Dank, dass du geantwortet hast.
> Allerdings bleiben mir immer noch 2 Sachen unklar. Und
> zwar ist es ja beim Auflösen des Gleichungssystems so, dass
> auf der linken Seite eigendlich 0 steht. Oder ich hab grad
> nen totalen Rechenfehler. Also ich hatte das immer so
> eingesetzt wie du auch gesagt hast und anschließend so
> aufgelöst:
>
> [mm]x\* \emptyset-x\*\hat \emptyset=1[/mm] | :( [mm]\emptyset-\hat \emptyset)[/mm]
> [mm]x-x=\bruch{1}{\emptyset-\hat \emptyset}[/mm]
> x-x ergibt ja dann
> 0!
Du hast es auch nicht richtig gemacht.
Erst musst du $x$ ausklammern:
$x [mm] \cdot (\Phi [/mm] - [mm] \hat{\Phi}) [/mm] = 1$
und dann teilt man durch [mm] $\Phi [/mm] - [mm] \hat{\Phi}$.
[/mm]
> Und das zu Frage 3) hab ich auch noch nicht so richtig
> kapiert. Wär schön, wenn du das nochmal erklären könntest!
> Sonst hat es mir aber schon weitergeholfen. Danke!
Naja, man definiert sich [mm] $V_n$ [/mm] gerade so wie beschrieben als Linearkombination von [mm] $V_n'$ [/mm] und [mm] $V_n''$. [/mm] Jetzt weiß man, dass mit [mm] $V_n'$ [/mm] und [mm] $V_n''$ [/mm] auch jede Linearkombination die Rekursionsgleichung löst, also auch
[mm] $V_n [/mm] = x [mm] \cdot V_n' [/mm] + y [mm] \cdot V_n'' [/mm] = [mm] x\Phi^n [/mm] + y [mm] \hat{\Phi}^n$
[/mm]
mit noch (!) unbekannten $x$ und $y$. Wir definieren uns also [mm] $V_n$ [/mm] gerade so.
Und jetzt müssen wir noch $x$ und $y$ so bestimmen, dass die beiden Randbedingungen erfüllt sind:
[mm] $V_0=f_0=0$
[/mm]
[mm] $V_1=f_1=1$.
[/mm]
Das wurde dann gemacht mit Hilfe des Gleichungssytems.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:10 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Elli160687 |
Hi!!!
Vielen Dank für deine Antwort!!!
Das hat mir sehr weitergeholfen. Danke!!!
War ja eigendlich gar nicht so schwer.
Also nochmal danke für die Hilfe!!!
Gruß Elena
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