Herleitung der Kurvendiskusion [f'(x)=0 ?] < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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gegeben ist die Funktion f(x)=ax³+bx²+cx+d
nun wird eine komplette Kurvendiskusion durchgeführt... soweit kein Problem
Zuerst einmal:
kann man die Ableitung vom Graphen f(x) aus direkt einzeichnen ohne diese zuerst abzuleiten bzw. auszurechnen???
nächste Frage:
Was ist dir Begründung für die Rechnung
Extremstellen f`(x)= 0
bzw. Wendestellen f``(x)= 0
warum muss das gleich 0 sein, lässt sich das irgendwo erkennen?
schon mal danke
wichtig für meine ABI-Prüfung mündlich
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Klar hat das was zu sagen. In Mathmatik hat alles was zu sagen und hat auch seinen Grund.
Ich geb dir mal einen Hinweis.
Nehm dir mal eine Funktion vor und zeichne Sie mal + Ableitung 1. Grades + 2. Ableitung.
Es fällt dir sicherlich was auf. Oder wenn Marc mal so ne Funktion plotten könnte (ich bekomm das irgendwie nit hin)
MfG DerMathematiker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo DerMathematiker,
ich denke, da kann ich dir auch helfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die blaue Kurve: [mm] f(x)=4x^5-1,2x+1
[/mm]
Die rote ist die erste Ableitung und die grüne die zweite Ableitung.
Viele Grüße
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mathefreak und NaishXXX,
willkommen im MatheRaum! 
> gegeben ist die Funktion f(x)=ax³+bx²+cx+d
> nun wird eine komplette Kurvendiskusion durchgeführt...
> soweit kein Problem
>
> Zuerst einmal:
> kann man die Ableitung vom Graphen f(x) aus direkt
> einzeichnen ohne diese zuerst abzuleiten bzw.
> auszurechnen???
Ja, das ist möglich, weil die Ableitung auch eine anschauliche Bedeutung hat.
Und zwar gibt die Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] die Steigung der Tangente an, die an dieser Stelle [mm] $x_0$ [/mm] an die Funktion gelegt wurde.
Du kannst ja mal eine Funktion zeichnen, sagen wir, [mm] $y=x^2$.
[/mm]
Nun zeichne an einer beliebigen Stellen, sagen wir, [mm] $x_0=1$, [/mm] eine Tangente ein.
Wie groß ist die Steigung dieser Tangente (Steigungsdreieck)?
Dieser Steigungswert müßte recht genau mit $f'(1)$ übereinstimmen ($f'(x)=2x$ [mm] \Rightarrow [/mm] $f'(1)=2$; die Tangente hat also die Steigung $m=2$).
Die Ableitung ist also ein "Automat": Oben wirft man eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ein, unten wirft die Ableitung die Steigung der Tangente an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] aus.
Oder anders gesagt: Die Ableitung ordnet einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] die Steigung der Tangente an dieser Stelle [mm] $x_0$ [/mm] zu.
Dieser Satz macht die Ableitung ihrerseits wieder zu einer Funktion.
Eine Ableitung ist also eine "Sammlung" sämtlicher Tangensteigungen einer Funktion.
So wird auch klar, wie man den Graph einer Ableitung zeichnen kann, nur an Hand des Graphen der Ausgangsfunktion:
Man überlegt sich für ein paar (markante) Stellen $x$, wie denn wohl die Tangentensteigungen an diesen Stellen aussehen könnten. Zum Beispiel haben ja Hoch- und Tiefpunkte "schöne" Tangentensteigungen: Die Tangente an Hoch-/Tiefpunkten verläuft horizontal, sie hat also die Steigung 0. Also hat die Ableitung an diesen Stellen einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Bei anderen Punkten und deren Tangentensteigung muß man dann wohl das Steigungsdreieck bemühen.
> nächste Frage:
> Was ist dir Begründung für die Rechnung
> Extremstellen f`(x)= 0
> bzw. Wendestellen f``(x)= 0
> warum muss das gleich 0 sein, lässt sich das irgendwo
> erkennen?
Der erste Teil müßte ja schon aus dem Obigen klar geworden sein:
An relativen Hoch- und Tiefpunkten ist die Tangente immer horizontal, hat also die Steigung 0.
Da nun die 1. Ableitung gerade die Tangentensteigung angibt, ist also die 1. Ableitung an dieser Stelle [mm] x_0 [/mm] gleich Null:
[mm] $f'(x_0)=0$
[/mm]
Diese Eigenschaft von Hoch- und Tiefpunkte kann man nun auch umgekehrt dazu benutzen, bei einer Funktion die Hoch- und Tiefpunkte zu finden:
Man setzt die erste Ableitung gleich Null, fragt also gewissermaßen den Automat Ableitung, an welcher Stelle an der Ausgangsfunktion eine horizontale Ableitung vorliegt; das liefert genau diese Gleichung (die "Notwendige Bedinung"):
[mm] $f'(x_0)=0$
[/mm]
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Kandidaten für Extrempunkte.
Warum nur "Kandidaten"? Weil es auch Punkte eines Graphen geben kann, wo eine horizontale Tangente vorliegt obwohl der Punkt kein Hoch-/Tiefpunkt ist (Beispiel dafür ist die Funktion [mm] $x^3$; [/mm] sie hat an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] eine horizontale Tangente, aber keinen Hoch-/Tiefpunkt (sondern einen Sattelpunkt)).
Die "wahren" Extrempunkt unter den Kandidaten werden durch die Hinreichende Bedingung herausgefiltert.
Merke also:
$f$ hat an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einen relativen Extrempunkt [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ hat an der Stelle eine horizontale Tangente bzw. [mm] $f'(x_0)=0$
[/mm]
$f$ hat an der Stelle eine horizontale Tangente bzw. [mm] $f'(x_0)=0$ \not\Rightarrow [/mm] $f$ hat an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einen relativen Extrempunkt
Warum die notwendige Bedingung für Wendepunkte [mm] $f''(x_0)=0$ [/mm] lautet, erkläre ich gleich in einer extra Antwort.
Und natürlich: Falls du weitere Fragen hast, hake einfach nach
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mathefreak!
> Was ist dir Begründung für die Rechnung
> bzw. Wendestellen f``(x)= 0
> warum muss das gleich 0 sein, lässt sich das irgendwo
> erkennen?
Das Kriterium für Wendpunkte einzusehen, ist etwas schwieriger also bei den Extrempunkten.
Zur Einsicht ist der Begriff der Krümmung recht hilfreich:
Zeichne doch mal von links nach rechts einen Graphen, dessen Steigung immer größer wird, dessen Steigung so zu sagen steigt: Du erhälst eine Linkskurve.
Zeichnest du --ebenfalls von links nach rechts-- einen Graphen dessen Steigung kleiner wird, dessen Steigung so zu sagen fällt, so erhälst du eine Rechtkurve.
Du solltest nicht weiterlesen, wenn du es bis hierher nicht verstanden hast; frage in diesem Fall bitte nach.
Ein Wendepunkt ist nun genau der Übergang eines Graphen von einer Links- zu einer Rechtskurve (bzw. umgekehrt).
Mit meiner vorherigen Überlegung (für den Übergang Links- zur Rechtskurve) bedeutet das doch, dass die Steigung links des Wendpunktes steigt und rechts des Wendepunktes wieder fällt. Wohlgemerkt, die Steigung steigt und fällt, nicht die Funktion.
Jetzt stelle dir mal eine Funktion vor, die links eines Punktes steigt und rechts davon fällt: Das ist ein (relatives) Maximum!
Also hat die Steigung an der Wendestelle ein relatives Maximum, also muß die Ableitung der Ableitung an der Wendestelle gleich Null sein, also [mm] $f''(x_w)=0$.
[/mm]
Der "Witz" ist also, dass eine Wendestelle einer Funktion $f$ die Extremstelle der Ableitung $f'$ ist.
Ich hoffe, das ist einigermaßen klar geworden, das muß man sich wohl erst mal in Ruhe ansehen.
Bei Unklarheiten: Du weißt ja, wo du uns findest
Alles Gute,
Marc
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