Herleitung der Normalengleichu < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 18.06.2013 | | Autor: | sunsmile |
Hallo,
ich möchte gern die Normalengleichung aus der Methode der kleinsten Quadrate ohne Analysis herleiten.
[mm] |Ax-b|^{2}=(Ax-b)\*(Ax-b)=(Ax)^{t}\*(Ax)-(2b)^{t}\*(Ax)+b^{t}\*b
[/mm]
Da dieser Term minimal sein soll, kann man auch
[mm] (Ax)^{t}\*(Ax)-(2b)^{t}\*(Ax)
[/mm]
betrachten, weil
[mm] b^{t}\*b
[/mm]
konstant ist.
Jetzt muss ich aber zeigen, dass
[mm] (Ax)^{t}\*(Ax)-(2b)^{t}\*(Ax)\ge [/mm] 0.
Dafür habe ich leider gar keine Idee. Kann mir jemand helfen, bitte?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=524135]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 18.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum sollte das groesser 0 sein_ das gilt schon im 1d nicht a,r reelle Y
(ax-b(^2/ge 0
aber [mm] a^2x^2-2bx [/mm] muss nicht /ge0 sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 18.06.2013 | | Autor: | sunsmile |
Hallo leduart,
ich hatte leider das ^2 vergessen. Es ist ja die Länge eines Vektors, und die muss [mm] \ge [/mm] 0 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Di 18.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht, dass in deiner letyten Gl. der Betrag eines Vektors steckt, machdem du [mm] b^2 [/mm] weggelassen hast. *sonst haettest du ja ne Begruendung?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 18.06.2013 | | Autor: | sunsmile |
Offensichtlich drücke ich mich total falsch aus. Also versuche ich mal ein klein wenig weiter auszuholen.
Ich arbeite mit folgendem Skript: http://alex.nt.fh-koeln.de/mapdf/LinAlg.pdf.
Der Ausschnitt stammt von Seite 132.
"Da wir das Gleichungssystem z.B. aufgrund von Messfehlern nicht exakt lösen können, wollen wir stattdessen einen Vektor x so suchen, dass
|Ax-b|
minimal ist. Da die Wurzelfunktion [0, [mm] \infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to \wurzel{x} [/mm] streng monoton wachsend ist, ist dies äquivalent dazu, dass die Funktion
[mm] g:\IR^{m} \to \IR, [/mm] x [mm] \to g(x)=|Ax-b|^{2}=(Ax-b)\*(Ax-b)
[/mm]
minimal ist. Dabei ist mit [mm] "\*" [/mm] das Skalarprodukt gemeint. Da
[mm] (Ax-b)\*(Ax-b)=(Ax)\*(Ax)-2b\*(Ax)+b\*b
[/mm]
und [mm] b\*b [/mm] konstant ist, ist wiederum äquivalent dazu, dass
[mm] f:\IR^{m} \to \IR, [/mm] x [mm] \to f(x)=(Ax)\*(Ax)-2b\*(Ax)
[/mm]
minimal ist."
Mein Prof. ist jetzt der Meinung, dass nachdem man den Term [mm] b\*b [/mm] entfernt, noch zeigen muss, dass [mm] f(x)\ge [/mm] 0, um auch wirklich das richtige und kein negatives Minimum zu finden!
Wie kann ich das machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Di 18.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ja ich muss Leduart zustimmen - seh ich jetzt auch nicht spontan wie genau du das meinst.
führ doch bitte mal deine bisherigen Überlegungen (nochmals aber genauer) aus.
Lg
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mi 19.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe nicht warum das f(x) nach entferntem b*b positiv sein sollte.
Gruss leduart
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Also sagst du, dass auch negative Minima gefunden werden dürfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 25.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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