Herleitung einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Fr 06.04.2007 | | Autor: | fat-twin |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Mathematiker, ich denke ich habe eine vergleichsweise einfache Frage für Euch, die mir aber einfach nicht aus dem Kopf geht. Also hier ist sie:
Warum ist 1/(10%-5%) das selbe wie 1+ 1,05/1,1 + [mm] 1,05^2/1,1^2+ 1,05^3/1,1^3.... [/mm] und mit laufindex t= 0 bis unendlich
Falls mir das jemand erklären könnte wäre ich sehr sehr dankbar, da es mich wirklich verrückt macht, und bitte wie für einen absoluten vollidioten erklären  vielen dank schon einmal und viele grüße
markus
|
|
| |
|
Hallo fat-twin,
das ist der Grenzwert der geometrischen Reihe:
Eine geometrische Reihe ist eine unendliche Summe der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k
[/mm]
Diese konvergiert, hat also einen Grenzwert für |q|<1, und der ist [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
In deinem Falle ist [mm] q=\frac{1,05}{1,1}<1
[/mm]
das heißt [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1,05}{1,1}\right)^k=\left(\frac{1,05}{1,1}\right)^0+\left(\frac{1,05}{1,1}\right)^1+\left(\frac{1,05}{1,1}\right)^2+\left(\frac{1,05}{1,1}\right)^3+......=\frac{1}{1-\frac{1,05}{1,1}}=\frac{1}{\frac{1,1-1,05}{1,1}}=\frac{1}{\frac{0,05}{1,1}}=\frac{1,1}{0,05}=22
[/mm]
Dein Ausdruck lässt sich umschreiben:
es ist 10%=0,1 und 5%=0,05, also 1/(10%-5%)
[mm] =\frac{1}{0,1-0,05}=\frac{1}{0,05}=\frac{1}{\frac{5}{100}}=\frac{100}{5}=20\ne [/mm] 22
Also passt da offensichtlich etwas nicht.
Schau bitte noch mal nach, ob da wirklich 1/(10%-5%) steht
Gruß
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Fr 06.04.2007 | | Autor: | fat-twin |
Hallo Schachuzipus
Erstmal vielen Dank für die superschnelle Antwort.
Ich glaube, da kann dann wirklich etwas nicht stimmen.
Aber vorerst nochmal zu Deiner Auführung und zur Kontrolle ob ich es verstanden habe:[mm] \summe_{i=1}^{\infty}[/mm] = [mm] \bruch{D}{(1+0,25)^i} [/mm] = das Gleiche wie [mm] \bruch{D}{0,25} [/mm] aus folgendem Grund:
D ist eine Konstante die ich vor das Summenzeichen ziehen kann
Daraus folgt D* [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm]=
[mm] \bruch{1}{(1+0,25)^i} [/mm] was wiederum
D* [mm] \bruch{1}{1- \bruch{1}{1,25}} [/mm] -1
= D*4 = D/0,25 denke das ist so richtig oder.
Kannst Du mir vielleicht erklären wie sich die Formel für den Grenzwert der Reihe ergibt, ich schaffe es einfach gedanklich nicht, mir den Grenzwert vorzustellen wenn q<0 und die Formel kann ich mir auch nicht erklären.
So und jetzt noch mal zum Ursprung meines Problems:
Die Aussage auf der meine Verwirrung basiert ist diese hier:
Wenn du also rechnest 1 / (10.3% - 5.8%) = 1/0.045, dann ist das so als wenn du rechnest:
1 +
1*1.058/1.103 +
[mm] 1*1.058^2/1.103^2 [/mm] +.....
was ja eben eine unendliche folge mit laufindex i=0 bis [mm] \infty [/mm] ist.
So nochmal super vielen Dank und bis bald
Markus
|
|
|
| |
|
Hallo Markus,
also so ganz blick ich durch deinen post nicht durch - versuche doch ma, das mit den Formel besser hinzubalsteln, ist echt schwer zu lesen
Aber zu deiner ersten Frage:
Du hast [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{D}{(1+0,25)^{i}}
[/mm]
da darfst du das D rausziehen [mm] =D\cdot{}\summe_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(1+0,25)^{i}}=D\cdot{}\summe_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+0,25}\right)^{i}
[/mm]
So nun ist der Grenzwert der geometrischen Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^{i}=\frac{1}{1-q} [/mm] für |q|<1
Bei dir ist nun [mm] q=\frac{1}{1+0,25}=\frac{1}{1,25}=\frac{100}{125}<1
[/mm]
Also ist [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\left(\frac{100}{125}\right)^{i}=\frac{1}{1-\frac{100}{125}}=\frac{1}{\frac{125-100}{125}}=\frac{1}{\frac{25}{125}}=\frac{125}{25}=5
[/mm]
Bei dir geht die Summe allerdings nicht bei [mm] \red{i=0} [/mm] los, sondern bei [mm] \green{i=1}.
[/mm]
Daher müssen wir vom GW 5 noch den Summanden für i=0 abziehen, das ist [mm] \left(\frac{100}{125}\right)^0=1
[/mm]
Also 5-1=4
Dann das ganze noch [mm] \cdot{}D, [/mm] das ja noch vor der Summe steht und du bekommst:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{D}{(1+0,25)^{i}}=4\cdot{}D
[/mm]
Zu deiner 2ten Frage, die ich nicht ganz blicke:
nun 10,3%-5,8%=4,5% das entspricht [mm] \frac{45}{10}
[/mm]
Also [mm] \frac{1}{\frac{45}{10}}=\frac{10}{45}\approx [/mm] 0,22222
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Fr 06.04.2007 | | Autor: | fat-twin |
Hi, ich habe gerade zum ersten Mal mit den Formeln hier hantiert und wollte sie noch ausbessern aber da hast Du den Artikel schon reserviert und ich konnte nicht mehr . Zudem finde ich es auch relativ unübersichtlich hier, deswegen auch zuerst die Mitteilung und jetzt das gleiche nochmal als Frage, sorry.
Jetzt müsste es stimmen, habe meinen Post nochmal geändert und bekomme das gleiche raus wie Du, ist ja auch recht klar.
Die zweite Frage war einfach nochmal die eigentlich Ursache meines Problems in Originalform: Dort hat mir nämlich jemand geschrieben und behauptet, dass eben [mm] \bruch {1}{0,103-0,058} [/mm] das gleiche ist wie [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] [mm] \bruch {1,058^i}{1,103^i} [/mm] und das stimmt ja wie Du mir schon in meinem ersten Post gestern gezeigt hast nicht!
Besteht dann dort überhaupt ein Zusammenhang?
Wie kommt man den auf Herleitung zur Formel für den Grenzwert einer unendlichen Reihe. Ich kann mir den Grenzwert bei q<0, wie gesagt einfach gedanklich nciht vorstellen und die Formel verstehe ich so auch nicht.
Danke und bis bald
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal Markus,
also das mit der geometrischen Reihe und ihrem GW rührt von der Formel für die endliche geometrische Summe:
Für alle [mm] $q\ne [/mm] 1$ gilt [mm] 1+q+q^2+q^3+....+q^n=\summe_{i=0}^{n}q^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Die kann man relativ leicht mittles vollständiger Induktion beweisen
Schaust du dir nun mal die rechte Seite an, so siehst du, dass für [mm] $n\rightarrow\infty$ \emph{} q^{n+1} [/mm] gegen 0 geht, falls |q|<1 ist,
also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}q^{i}=\summe_{i=0}^{\infty}q^{i}=\frac{1-0}{1-q}=\frac{1}{1-q} [/mm] für |q|<1
LG
schachuzius
|
|
|
|
