Herleitung eulersche Zahl < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mi 14.12.2011 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | f(x) = f'(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \approx \bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}} [/mm] | [mm] *\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{n}*f(x)+f(x) \approx f(x+\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \gdw f(x)(1+\bruch{1}{n}) \approx f(x+\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x+\bruch{2}{n}) \approx f(x+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n}) \approx f(x)*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(x)*(1+\bruch{1}{n})^{2}
[/mm]
...
[mm] \Rightarrow f(x+\bruch{n}{n}) \approx f(x)*(1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x+1) = [mm] f(x)*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(x+1) = f(x)*e
[mm] \Rightarrow [/mm] f(m) = f(0+m) = [mm] f(0)*e^{m}
[/mm]
Quelle: http://oberprima.com/mathematik/erklaerung-zahl-e-ableitungen-2669/ |
Hi,
bin etwas irritiert, wo da jetzt eben im Endeffekt der Schluss gezogen wird, dass eben f(x) = [mm] e^{x} [/mm] = f'(x) gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> f(x) = f'(x) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\approx \bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}}[/mm]
> | [mm]*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{n}*f(x)+f(x) \approx f(x+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\gdw f(x)(1+\bruch{1}{n}) \approx f(x+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x+\bruch{2}{n}) \approx f(x+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n}) \approx f(x)*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})[/mm]
> = [mm]f(x)*(1+\bruch{1}{n})^{2}[/mm]
>
> ...
>
> [mm]\Rightarrow f(x+\bruch{n}{n}) \approx f(x)*(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x+1) =
> [mm]f(x)*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] f(x+1) = f(x)*e
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(m) = f(0+m) = [mm]f(0)+e^{m}[/mm]
>
> Quelle:
> http://oberprima.com/mathematik/erklaerung-zahl-e-ableitungen-2669/
>
> Hi,
>
> bin etwas irritiert, wo da jetzt eben im Endeffekt der
> Schluss gezogen wird, dass eben f(x) = [mm]e^{x}[/mm] = f'(x) gilt.
Dieser Schluß wird nicht gezogen !
1. In diesem bekloppten Video wird vorausgesetzt, dass f(x)=f'(x) ist.
2. Dann wird auf auf sehr wacklige Art "gezeigt": f(x+1)=f(x)e
3. Es folgt: f(1)=f(0)e und [mm] f(2)=f(0)e^2
[/mm]
4. Wie von Zauberhand steht dann da: [mm] f(t)=f(0)e^t
[/mm]
Aus f(x)=f'(x) wird also [mm] f(t)=f(0)e^t [/mm] "hergeleitet". Aber nicht wirklich, denn von
f(x+1)=f(x)e
zu
[mm] f(t)=f(0)e^t
[/mm]
ist noch ein weiter Weg !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mi 14.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Es macht keinen ganz sauberen Eindruck, ok, aber, schlecht ist es aber nicht. So erhält man jedenfalls schon mal eine Idee, wie man [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] erhält. Das kannte ich sonst nur als direkten Term für eben e. Aber wie man nun genau auf diesen Term kam, wusste ich nicht, das hier ist vom Ansatz her schon mal richtig spitze. Ok, f(x) = [mm] e^{x} [/mm] = f'(x) wurde so nicht gefolgert, danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es macht keinen ganz sauberen Eindruck, ok, aber, schlecht
> ist es aber nicht. So erhält man jedenfalls schon mal eine
> Idee, wie man
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] erhält.
> Das kannte ich sonst nur als direkten Term für eben e.
> Aber wie man nun genau auf diesen Term kam, wusste ich
> nicht, das hier ist vom Ansatz her schon mal richtig
Moment, Moment :
Der Weg ist folgender:
Betrachte die Folge [mm] a_n:=(1+\bruch{1}{n})^{n}.
[/mm]
Dann kann man zeigen: [mm] (a_n) [/mm] ist wachsend und beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent.
Dann definiert (!) man:
[mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> spitze.
Tatsächlich ? Ich wollte es vorhin nicht so deutlich sagen: dieses Video ist ganz schön hohl.
FRED
> Ok, f(x) = [mm]e^{x}[/mm] = f'(x) wurde so nicht gefolgert,
> danke.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mi 14.12.2011 | | Autor: | msg08 |
> Der Weg ist folgender:
>
> Betrachte die Folge [mm]a_n:=(1+\bruch{1}{n})^{n}.[/mm]
>
> Dann kann man zeigen: [mm](a_n)[/mm] ist wachsend und beschränkt.
> Nach dem Monotoniekriterium ist [mm](a_n)[/mm] konvergent.
>
> Dann definiert (!) man:
>
> [mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
Und wie käme man jetzt auf die Folge selbst? Kennst du da vielleicht einen anderen Weg hin? Aber im Video wird sonst schon ein "konstruktiver" Weg gefunden. Der so vielleicht nicht ganz richtig ist, aber, man erhält da ja schon diesen Term oder.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Der Weg ist folgender:
> >
> > Betrachte die Folge [mm]a_n:=(1+\bruch{1}{n})^{n}.[/mm]
> >
> > Dann kann man zeigen: [mm](a_n)[/mm] ist wachsend und beschränkt.
> > Nach dem Monotoniekriterium ist [mm](a_n)[/mm] konvergent.
> >
> > Dann definiert (!) man:
> >
> > [mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> Und wie käme man jetzt auf die Folge selbst? Kennst du da
> vielleicht einen anderen Weg hin? Aber im Video wird sonst
> schon ein "konstruktiver" Weg gefunden. Der so vielleicht
> nicht ganz richtig ist, aber, man erhält da ja schon
> diesen Term oder.
>
Die Zahl e wird so definiert, wie ich es oben gesagt habe.
Ich halte es für sinnlos, irgendwelche "Erklärungen" rund um e und die Funktion [mm] e^x [/mm] abzugeben (wie im Video), solange nirgendwo def. wurde was [mm] e^x [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] eigentlich ist.
Wenn ich Dich frage: was ist [mm] e^{\wurzel{2}} [/mm] ? Was antwortest Du ?
FRED
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> > > Der Weg ist folgender:
> > >
> > > Betrachte die Folge [mm]a_n:=(1+\bruch{1}{n})^{n}.[/mm]
> > >
> > > Dann kann man zeigen: [mm](a_n)[/mm] ist wachsend und beschränkt.
> > > Nach dem Monotoniekriterium ist [mm](a_n)[/mm] konvergent.
> > >
> > > Dann definiert (!) man:
> > >
> > > [mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> >
> > Und wie käme man jetzt auf die Folge selbst? Kennst du da
> > vielleicht einen anderen Weg hin? Aber im Video wird sonst
> > schon ein "konstruktiver" Weg gefunden. Der so vielleicht
> > nicht ganz richtig ist, aber, man erhält da ja schon
> > diesen Term oder.
> >
>
>
> Die Zahl e wird so definiert, wie ich es oben gesagt habe.
>
> Ich halte es für sinnlos, irgendwelche "Erklärungen" rund
> um e und die Funktion [mm]e^x[/mm] abzugeben (wie im Video), solange
> nirgendwo def. wurde was [mm]e^x[/mm] für x [mm]\in \IR[/mm] eigentlich
> ist.
Hallo Fred,
nach meiner Meinung geht es im Video in erster Linie darum,
ausgehend von einer verständlichen Fragestellung
"welche Funktionen erfüllen die Eigenschaft f'=f ?"
plausibel zu machen, dass der Grenzwert [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm]
überhaupt interessant sein könnte.
Wenn man ohne eine vorgängige Motivation einfach diesen
Grenzwert serviert und seine Existenz beweist, gibt es nach
meiner Erfahrung praktisch fast nur ratlos fragende Gesichter -
die Schüler fragen sich dann, wie um Himmels Willen man denn
auf diese sonderbare Zahlenfolge kommt und weshalb man
dann ihren "krummen" Limes e=2.718.... sogar als "natürliche"
Basis einer Exponentialfunktion und der dazu gehörigen
Logarithmen erklärt - wo doch die Zehnerlogarithmen so
praktisch sind.
Eine solche Motivation zu liefern, sich mit dem Limes e
zu beschäftigen, schafft Martin Wabnik nach meiner Ansicht
recht gut.
Gruß
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Der Weg ist folgender:
> > > >
> > > > Betrachte die Folge [mm]a_n:=(1+\bruch{1}{n})^{n}.[/mm]
> > > >
> > > > Dann kann man zeigen: [mm](a_n)[/mm] ist wachsend und beschränkt.
> > > > Nach dem Monotoniekriterium ist [mm](a_n)[/mm] konvergent.
> > > >
> > > > Dann definiert (!) man:
> > > >
> > > > [mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> > >
> > > Und wie käme man jetzt auf die Folge selbst? Kennst du da
> > > vielleicht einen anderen Weg hin? Aber im Video wird sonst
> > > schon ein "konstruktiver" Weg gefunden. Der so vielleicht
> > > nicht ganz richtig ist, aber, man erhält da ja schon
> > > diesen Term oder.
> > >
> >
> >
> > Die Zahl e wird so definiert, wie ich es oben gesagt habe.
> >
> > Ich halte es für sinnlos, irgendwelche "Erklärungen" rund
> > um e und die Funktion [mm]e^x[/mm] abzugeben (wie im Video), solange
> > nirgendwo def. wurde was [mm]e^x[/mm] für x [mm]\in \IR[/mm] eigentlich
> > ist.
>
>
> Hallo Fred,
>
> nach meiner Meinung geht es im Video in erster Linie
> darum,
> ausgehend von einer verständlichen Fragestellung
> "welche Funktionen erfüllen die Eigenschaft f'=f ?"
> plausibel zu machen, dass der Grenzwert
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
> überhaupt interessant sein könnte.
> Wenn man ohne eine vorgängige Motivation einfach diesen
> Grenzwert serviert und seine Existenz beweist, gibt es
> nach
> meiner Erfahrung praktisch fast nur ratlos fragende
> Gesichter -
> die Schüler fragen sich dann, wie um Himmels Willen man
> denn
> auf diese sonderbare Zahlenfolge kommt und weshalb man
> dann ihren "krummen" Limes e=2.718.... sogar als
> "natürliche"
> Basis einer Exponentialfunktion und der dazu gehörigen
> Logarithmen erklärt - wo doch die Zehnerlogarithmen so
> praktisch sind.
> Eine solche Motivation zu liefern, sich mit dem Limes e
> zu beschäftigen, schafft Martin Wabnik nach meiner
> Ansicht
> recht gut.
>
> Gruß
> Al
Hallo Al,
so gesehen kann ich Dir partiell zustimmen.
Gruß FRED
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> f(x) = f'(x) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\approx \bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}}[/mm]
> | [mm]*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{n}*f(x)+f(x) \approx f(x+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\gdw f(x)(1+\bruch{1}{n}) \approx f(x+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x+\bruch{2}{n}) \approx f(x+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n}) \approx f(x)*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})[/mm]
> = [mm]f(x)*(1+\bruch{1}{n})^{2}[/mm]
>
> ...
>
> [mm]\Rightarrow f(x+\bruch{n}{n}) \approx f(x)*(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x+1) =
> [mm]f(x)*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] f(x+1) = f(x)*e
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(m) = f(0+m) = [mm]f(0)\ \red{+}\ e^{m}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das müsste doch heißen: f(0) * [mm] e^{m}
[/mm]
(dabei müsste man zunächst den Wert von m sicher
auf natürliche Zahlen beschränken !)
> Quelle:
> http://oberprima.com/mathematik/erklaerung-zahl-e-ableitungen-2669/
Fred hat schon mitgeteilt, dass diese Herleitung etwas
"wacklig" ist. Dem stimme ich zu. Trotzdem hat sie auch
etwas für sich, das manchen "korrekten" Einführungen
der eulerschen Zahl abgeht: sie ist einfach und zeigt
doch das Wesentliche. Mit den mündlichen Erläuterungen
im Video ist sie insgesamt doch recht ordentlich. Was
fehlt, ist ein eigentlicher Existenzbeweis für den Limes
und exakte Erklärungen, weshalb man schließlich von
den Näherungen zu einer Gleichung übergehen kann.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Mi 14.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Ja, Fehler meinerseits, mit dem +.
Gut, danke, so seh ich es eigentlich auch wohl.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mi 14.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Gesucht: f(x) = f'(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}} [/mm] | [mm] *\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}*f(x)+f(x)) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{1}{n}))
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x)(1+\bruch{1}{n})) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{1}{n}))
[/mm]
...
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m-1}{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+\bruch{1}{n}+\bruch{m-1}{n})-f(x+\bruch{m-1}{n})}{\bruch{1}{n}}) [/mm] | [mm] *\bruch{1}{n} [/mm] (Für [mm] 1\le [/mm] m [mm] \le [/mm] n)
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}f(x+\bruch{m-1}{n})+f(x+\bruch{m-1}{n})) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m}{n}))
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m-1}{n})*(1+\bruch{1}{n})) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m}{n}))
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m-2}{n})*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m}{n}))
[/mm]
...
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m-(m-1)}{n})*(1+\bruch{1}{n})^{m-1}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m}{n}))
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})^{m-1}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m}{n}))
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x)*(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})^{m-1}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m}{n}))
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x)*(1+\bruch{1}{n})^{m}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{m}{n}))
[/mm]
Dürfte ich das so machen? Limes mitgenommen, um weiterhin = nutzen zu können. Die Gleichung dann eben rekursiv definiert. Was meint ihr?
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> Gesucht: f(x) = f'(x)
>
> [mm]\Rightarrow\quad f(x)\ =\ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+\bruch{1}{n})-f(x)}{\bruch{1}{n}}\qquad\quad|*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}*f(x)+f(x))\ =\ \limes_{n\rightarrow\infty}(f(x+\bruch{1}{n}))[/mm]
Nein, so geht dies nicht !
Die neue Zeile gilt nämlich für jede stetige Funktion, die
keineswegs die Gleichung f'=f erfüllen muss.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Do 15.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Wir nehmen f(x) erstmal ohne genaueres Wissen hin, wobei wir soweit schon annehmen, es gelte f(x) = f'(x).
Es folgt sowas:
f(x+1) = f(x)*e
rekursiv also:
f(x+1) = f(x)*e = f(x-1)*e*e = ... = f(0+x-x) * [mm] e^{x+1}= f(0)*e^{x+1} [/mm] = [mm] 1*e^{x+1} [/mm] = [mm] e^{x+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
f(0) = 1 kriegt man vielleicht auch irgendwie raus?
Bzw. anders, man hat soweit für f(x) = [mm] e^{x} [/mm] und f(0) = [mm] e^{0} [/mm] = 1. Wäre nicht hergeleitet, sondern nur eingesetzt in die Funktion. Mit der Abbruchbedingung für x=0 kann man eben direkt f(x) hinschreiben. Sonst würde man im negativen Zahlenbereich mit f(0) = f(-1+1) weitermachen. Keine Ahnung, aber so ungefähr, vielleicht :).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Aus f(x) = f'(x) folgt nicht , dass f(0)=1 ist !!
Ist f eine auf [mm] \IR [/mm] differenzierbare Funktion, so gilt:
f'=f auf [mm] \IR \gdw [/mm] es ex. ein c [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] f(x)=ce^x
[/mm]
Damit sind z.B. f(x)=0 oder [mm] f(x)=4543234545423*e^x [/mm]
Lösungen der Differentialgl. f'=f.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:09 Do 15.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Also es soll schon sowas gelten
f(0) = f'(0) und 1 wäre eben sehr schön. Also ganz sauber habe ich da auch keine Idee. Gebe dir Recht, man kann da ruhig bel. reele Zahlenwerte voraussetzen. Da Bildmenge IR. Ach das klappt :).
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> Also es soll schon sowas gelten
>
> f(0) = f'(0) und 1 wäre eben sehr schön. Also ganz sauber
> habe ich da auch keine Idee. Gebe dir Recht, man kann da
> ruhig bel. reele Zahlenwerte voraussetzen. Da Bildmenge IR.
> Ach das klappt :).
... und was wäre jetzt die Frage ?
Und: die Bildmenge (Wertebereich) einer Lösungsfunktion
der Form [mm] f(x)=c*e^x [/mm] ist nicht [mm] \IR, [/mm] sondern entweder [mm] \IR^+
[/mm]
oder [mm] \IR^- [/mm] oder [mm] \{0\} [/mm] , je nach dem Vorzeichen von c .
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 15.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Nee, die Antwort liegt ja auf der Hand, nur eine Begründung fehlt mir.
f(0) = 1 = f'(0)
Aber, der Wertebereich, hmm, ist entweder oder. Nicht allgemein [mm] \IR?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nee, die Antwort liegt ja auf der Hand, nur eine
> Begründung fehlt mir.
>
> f(0) = 1 = f'(0)
Nochmal: aus f'(x)=f(x) folgt i.a. nicht, dass f(0)=1 ist.
FRED
>
> Aber, der Wertebereich, hmm, ist entweder oder. Nicht
> allgemein [mm]\IR?[/mm]
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> Aber, der Wertebereich, hmm, ist entweder oder. Nicht
> allgemein [mm]\IR?[/mm]
[mm] e^x [/mm] ist positiv für alle [mm] x\in\IR [/mm]
Die Funktion $\ x\ [mm] \mapsto\ C*e^x$ [/mm] "erbt" deshalb das
Vorzeichen von der Konstanten C.
Zeichne dir doch mal ein paar derartige Funktionen auf !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 15.12.2011 | | Autor: | msg08 |
Klar,
also schrittweise wächst sie ja für eine Einheit um ein e und daher wäre es nur konsequent mit f(0) = [mm] e^{0} [/mm] = 0.
Stimmt eigentlich, passt.
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> Klar,
>
> also schrittweise wächst sie ja für eine Einheit um ein e ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein. Wenn x um 1 erhöht wird (Addition von 1), dann
wird der y-Wert mit dem Faktor e multipliziert.
> und daher wäre es nur konsequent mit f(0) = [mm]e^{0}[/mm] = 0.
[mm] e^0 [/mm] ergibt nicht 0 , sondern 1 .
> Stimmt eigentlich, passt.
Nein. Aus der Gleichung f'(x)=f(x) kann man den Wert
f(0) nicht ermitteln. Der bleibt frei wählbar und wird
eben als Konstante C bezeichnet, wie jetzt wohl schon
mehr als einmal bemerkt wurde.
Die Funktionen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit f'=f sind die Funktionen [mm] f_C [/mm] mit
$\ [mm] f_C(x)\ [/mm] =\ [mm] C*e^x$
[/mm]
mit einer beliebig wählbaren reellen Konstanten C.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Di 13.03.2012 | | Autor: | msg08 |
Nee, so ganz einfach ist das eigentlich nicht oder.
Also das f(0) eine Konstante ist, schön und gut, aber die wird ja durch f definiert. Wobei f(x) = f(0) * [mm] e^x [/mm] ist. Wenn f(x) = [mm] e^x [/mm] ist, gitl für f(0) = 1, klar. So wie es aber da steht, gilt für f(0) gar nichts oder was kann man dafür einsetzen?
Man kann es auch noch umschreiben zu f(x)/f(0) = [mm] e^x, [/mm] aber was macht man dann da? Nee, so ganz sauber ist es nicht. Wisst ihr, wie man das mit dem f(0) irgendwie sauber rauskriegt? Also einfach mal eine Kontante einsetzen, von mir aus, nur welche dann und warum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
Ist $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine differenzierbare Funktion, so gilt:
$f'=f$ auf [mm] \IR \gdw [/mm] es ex. ein c [mm] \in \IR [/mm] : [mm] $f(x)=c*e^x$ [/mm] für alle reellen x.
In diesem Fall ist c=f(0).
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Di 13.03.2012 | | Autor: | msg08 |
Also mein f(x) muss die Form [mm] c*e^x [/mm] haben. Dann ist f(0) = [mm] c*e^0 [/mm] = c. Mein f(x) ist soweit also variabel in Abhängigkeit vom Faktor c zu setzeh, das meinste gell.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also mein f(x) muss die Form [mm]c*e^x[/mm] haben. Dann ist f(0) =
> [mm]c*e^0[/mm] = c. Mein f(x) ist soweit also variabel in
> Abhängigkeit vom Faktor c zu setzeh, das meinste gell.
Es gibt halt nun mal unendlich viele differenzierbare Funktionen auf [mm] \IR, [/mm] die der Differentialgleichung $f'=f$ genügen, für jedes c [mm] \in \IR [/mm] eine, gell.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Di 13.03.2012 | | Autor: | msg08 |
folgt daraus, passt
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