Herleitung von Umfangsformel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Do 17.01.2013 | | Autor: | spejt |
Hey Experten,
muss für eine Arbeit, den Umfang einer Ellipse berechnen/nähern, und bin auf folgende Seite gestoßen: ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik-online.de/F57.htm
Allerdings verstehen ich nicht ganz, wie die dort rechnen...
Am Anfang ist die Grundformel einer Ellipse: [mm] 1=\bruch{x^2}{a^2}-\bruch{y^2}{b^2}
[/mm]
Dass wandeln sie in die Parameterdarstellung um, - aber woher kommt jetzt dieses Integral?
Könnte mir einer vielleicht das ganze Erklären?
Vielen Dank schon mal!
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Experten,
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> muss für eine Arbeit, den Umfang einer Ellipse
> berechnen/nähern, und bin auf folgende Seite gestoßen:
> http://www.mathematik-online.de/F57.htm
>
> Allerdings verstehen ich nicht ganz, wie die dort
> rechnen...
>
> Am Anfang ist die Grundformel einer Ellipse:
> [mm]1=\bruch{x^2}{a^2}-\bruch{y^2}{b^2}[/mm]
Da sollte
[mm]1=\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}[/mm]
stehen.
> Dass wandeln sie in die Parameterdarstellung um, - aber
> woher kommt jetzt dieses Integral?
>
> Könnte mir einer vielleicht das ganze Erklären?
Ja, ich bin einer solcher.
Zunächst allgemein: ist [mm] $w:[\alpha, \beta] \to \IR^2, [/mm] w(t)=(x(t),y(t))$, ein stückweise stetig differenzierbarer Weg, so kann man zeigen, dass seine Länge L(w) gegeben ist durch
[mm] L(w)=\integral_{\alpha}^{\beta}{\wurzel{x'(t)^2+y'(t)^2} dt}.
[/mm]
Bei der Ellipse ist [mm] $x(t)=a*\cos(t)$ [/mm] und [mm] $y(t)=b*\sin(t)$ [/mm] und [mm] $[\alpha, \beta]=[0, \2 \pi]$
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank schon mal!
>
> P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 17.01.2013 | | Autor: | spejt |
Hey FRED, danke für deine Antwort!
soweit komm ich einigermaßen mit...
Allerdings hat man dann ja folgendes: [mm] \integral_{0}^{2pi}{\wurzel{[(a*cos t)']^2+[(b*sin t)']^2}dx}
[/mm]
und dort geht es weiter, indem praktisch hochgeleitet wird, dafür bekommt er dann für cos sin raus, müste da nicht -sin rauskommen?
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Hallo,
> Hey FRED, danke für deine Antwort!
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> soweit komm ich einigermaßen mit...
> Allerdings hat man dann ja folgendes:
> [mm]\integral_{0}^{2pi}{\wurzel{[(a*cos t)']^2+[(b*sin t)']^2}dx}[/mm]
>
> und dort geht es weiter, indem praktisch hochgeleitet wird
??? Was wird gemacht ???
Hochgeleitet? Ich kenne das Weiterleiten von E-Mail, aber vom Hochleiten einer Funktion habe ich noch nie etwas gehört.
Richtig: Integrieren, Stammfunktion bestimmen ...
Bitte sage nie wieder "aufleiten oder hochleiten" - das ist garstig!
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> dafür bekommt er dann für cos sin raus, müste da nicht
> -sin rauskommen?
Jo, aber wird ja quadriert, und [mm](a\cdot{}(-\sin(t))^2=a^2\cdot{}(-\sin(t))^2=a^2\cdot{}\sin^2(t)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 17.01.2013 | | Autor: | spejt |
:D werd versuchen in Zukunft nicht mehr garstig zu sein.
Ah, - ja durch dass Quadrieren macht das wieder Sinn... - Danke!
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