Heron - Newton: Wurzeln < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Leute,
ich schmökere gerade in dem neuen Buch von Frau Dörte Haftendorn: "Mathematik sehen und verstehen".
Sie gibt darin eine anschauliche Herleitung der Heronschen Formel für Quadratwurzeln, die da lautet:
[mm] $x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n} \right)$
[/mm]
R = Radikand
Diese ist identisch mit der umgeformten Newton-Formel für einfache Nullstellen
[mm] $x_{n+1}= x_n [/mm] - [mm] \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] $
mit [mm] f(x)=x^2-R=0 [/mm] .
Jetzt habe ich mich gefragt, ob die Heronformel auch für höhere Wurzeln als die quadratische gilt.
Im Internet habe ich für die k-te Wurzel folgendes gefunden:
I Heron: [mm] $x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right)$
[/mm]
II nach Newton: [mm] $x_{n+1}=\frac{1}{k}* \left[(k-1)* x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right]$
[/mm]
Ich habe die beiden Folgen für meinen alten programmierbaren TR geschrieben (für R=2 und [mm] x_0=1) [/mm] und folgendes gefunden:
I konvergiert ebenso rasch für die Quadratwurzel (k=2) wie Newton (sie sind ja identisch).
I konvergiert langsam für die kubische Wurzel.
I konvergiert sehr langsam für die 4te Wurzel.
I divergiert für die 5te Wurzel.
II konvergiert immer rasch.
Kann man für die Heronformel irgendwie im voraus bestimmen, für welches k sie konvergiert und für welchen Radius ?
Besten Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo liebe Leute,
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> ich schmökere gerade in dem neuen Buch von Frau Dörte
> Haftendorn: "Mathematik sehen und verstehen".
>
> Sie gibt darin eine anschauliche Herleitung der Heronschen
> Formel für Quadratwurzeln, die da lautet:
>
> [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n} \right)[/mm]
>
> R = Radikand
>
> Diese ist identisch mit der umgeformten Newton-Formel für
> einfache Nullstellen
>
>
> [mm]x_{n+1}= x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
>
> mit [mm]f(x)=x^2-R=0[/mm] .
>
>
>
> Jetzt habe ich mich gefragt, ob die Heronformel auch für
> höhere Wurzeln als die quadratische gilt.
>
> Im Internet habe ich für die k-te Wurzel folgendes
> gefunden:
>
>
> I Heron: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right)[/mm]
>
>
> II nach Newton: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{k}* \left[(k-1)* x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right][/mm]
>
>
> Ich habe die beiden Folgen für meinen alten
> programmierbaren TR geschrieben (für R=2 und [mm]x_0=1)[/mm] und
> folgendes gefunden:
>
>
> I konvergiert ebenso rasch für die Quadratwurzel (k=2) wie
> Newton (sie sind ja identisch).
>
> I konvergiert langsam für die kubische Wurzel.
>
> I konvergiert sehr langsam für die 4te Wurzel.
>
> I divergiert für die 5te Wurzel.
>
>
> II konvergiert immer rasch.
>
>
> Kann man für die Heronformel irgendwie im voraus
> bestimmen, für welches k sie konvergiert und für welchen
> Radius ?
>
>
Das kann aus der Bedingung für das Iterationsverfahren bestimmt werden.
Die Bedingung für die Anwendbarkeit des Iterationsverfahrens
[mm]x= \varphi\left(x\right)[/mm]
ist abhängig vom Starwert [mm]x_{0}[/mm].
Dieser muß der Bedingung
[mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)} < 1[/mm]
genügen.
Daraus läßt sich, wenn zwei Größen vorgegeben sind,
eine Bedingung an die 3. Größe angeben.
> Besten Dank für eine Antwort.
>
> LG, Martinius
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
habe besten Dank für Deine Antwort.
Ich probiere einmal, ob ich Dich verstanden habe:
> Hallo Martinius,
>
>
> > Hallo liebe Leute,
> >
> > ich schmökere gerade in dem neuen Buch von Frau Dörte
> > Haftendorn: "Mathematik sehen und verstehen".
> >
> > Sie gibt darin eine anschauliche Herleitung der Heronschen
> > Formel für Quadratwurzeln, die da lautet:
> >
> > [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n} \right)[/mm]
> >
>
> > R = Radikand
> >
> > Diese ist identisch mit der umgeformten Newton-Formel für
> > einfache Nullstellen
> >
> >
> > [mm]x_{n+1}= x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
> >
> > mit [mm]f(x)=x^2-R=0[/mm] .
> >
> >
> >
> > Jetzt habe ich mich gefragt, ob die Heronformel auch für
> > höhere Wurzeln als die quadratische gilt.
> >
> > Im Internet habe ich für die k-te Wurzel folgendes
> > gefunden:
> >
> >
> > I Heron: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right)[/mm]
>
> >
> >
> > II nach Newton: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{k}* \left[(k-1)* x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right][/mm]
>
> >
> >
> > Ich habe die beiden Folgen für meinen alten
> > programmierbaren TR geschrieben (für R=2 und [mm]x_0=1)[/mm] und
> > folgendes gefunden:
> >
> >
> > I konvergiert ebenso rasch für die Quadratwurzel (k=2) wie
> > Newton (sie sind ja identisch).
> >
> > I konvergiert langsam für die kubische Wurzel.
> >
> > I konvergiert sehr langsam für die 4te Wurzel.
> >
> > I divergiert für die 5te Wurzel.
> >
> >
> > II konvergiert immer rasch.
> >
> >
> > Kann man für die Heronformel irgendwie im voraus
> > bestimmen, für welches k sie konvergiert und für welchen
> > Radius ?
> >
> >
>
>
> Das kann aus der Bedingung für das Iterationsverfahren
> bestimmt werden.
>
> Die Bedingung für die Anwendbarkeit des
> Iterationsverfahrens
>
> [mm]x= \varphi\left(x\right)[/mm]
>
> ist abhängig vom Starwert [mm]x_{0}[/mm].
>
> Dieser muß der Bedingung
>
> [mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)} < 1[/mm]
>
> genügen.
>
> Daraus läßt sich, wenn zwei Größen vorgegeben sind,
> eine Bedingung an die 3. Größe angeben.
Hieße das z. B. für die Quadratwurzel aus 2 mit [mm] x_0=1:
[/mm]
[mm] \varphi\left(x\right) = \frac{1}{2}* \left( x +\frac{2}{x} \right)[/mm]
[mm] \varphi'\left(x_0\right) = \frac{1}{2}* \left( 1 -\frac{2}{x_0^2} \right)[/mm]
[mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)}= \frac{1}{2} < 1[/mm]
D. h., dieser Startwert [mm] x_0=1 [/mm] würde dieser Bedingung genügen (?).
Für die kubische Wurzel aus 2 mit [mm] x_0=1 [/mm] wäre
[mm] \varphi\left(x\right) = \frac{1}{2}* \left( x +\frac{2}{x^2} \right)[/mm]
[mm] \varphi'\left(x_0\right) = \frac{1}{2}* \left( 1 -\frac{4}{x_0^3} \right)[/mm]
[mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)}= \frac{3}{2} \; \; nicht \; < 1[/mm]
Hieße das, dass der Startwert [mm] x_0=1 [/mm] ungeeignet wäre - obwohl die Folge mit diesem Starwert konvergiert (?).
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo MathePower,
>
> habe besten Dank für Deine Antwort.
>
> Ich probiere einmal, ob ich Dich verstanden habe:
>
>
> > Hallo Martinius,
> >
> >
> > > Hallo liebe Leute,
> > >
> > > ich schmökere gerade in dem neuen Buch von Frau Dörte
> > > Haftendorn: "Mathematik sehen und verstehen".
> > >
> > > Sie gibt darin eine anschauliche Herleitung der Heronschen
> > > Formel für Quadratwurzeln, die da lautet:
> > >
> > > [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n} \right)[/mm]
>
> > >
> >
> > > R = Radikand
> > >
> > > Diese ist identisch mit der umgeformten Newton-Formel für
> > > einfache Nullstellen
> > >
> > >
> > > [mm]x_{n+1}= x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
> > >
> > > mit [mm]f(x)=x^2-R=0[/mm] .
> > >
> > >
> > >
> > > Jetzt habe ich mich gefragt, ob die Heronformel auch für
> > > höhere Wurzeln als die quadratische gilt.
> > >
> > > Im Internet habe ich für die k-te Wurzel folgendes
> > > gefunden:
> > >
> > >
> > > I Heron: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > II nach Newton: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{k}* \left[(k-1)* x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right][/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Ich habe die beiden Folgen für meinen alten
> > > programmierbaren TR geschrieben (für R=2 und [mm]x_0=1)[/mm] und
> > > folgendes gefunden:
> > >
> > >
> > > I konvergiert ebenso rasch für die Quadratwurzel (k=2) wie
> > > Newton (sie sind ja identisch).
> > >
> > > I konvergiert langsam für die kubische Wurzel.
> > >
> > > I konvergiert sehr langsam für die 4te Wurzel.
> > >
> > > I divergiert für die 5te Wurzel.
> > >
> > >
> > > II konvergiert immer rasch.
> > >
> > >
> > > Kann man für die Heronformel irgendwie im voraus
> > > bestimmen, für welches k sie konvergiert und für welchen
> > > Radius ?
> > >
> > >
> >
> >
> > Das kann aus der Bedingung für das Iterationsverfahren
> > bestimmt werden.
> >
> > Die Bedingung für die Anwendbarkeit des
> > Iterationsverfahrens
> >
> > [mm]x= \varphi\left(x\right)[/mm]
> >
> > ist abhängig vom Starwert [mm]x_{0}[/mm].
> >
> > Dieser muß der Bedingung
> >
> > [mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)} < 1[/mm]
> >
> > genügen.
> >
> > Daraus läßt sich, wenn zwei Größen vorgegeben sind,
> > eine Bedingung an die 3. Größe angeben.
>
>
>
> Hieße das z. B. für die Quadratwurzel aus 2 mit [mm]x_0=1:[/mm]
>
> [mm]\varphi\left(x\right) = \frac{1}{2}* \left( x +\frac{2}{x} \right)[/mm]
>
> [mm]\varphi'\left(x_0\right) = \frac{1}{2}* \left( 1 -\frac{2}{x_0^2} \right)[/mm]
>
> [mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)}= \frac{1}{2} < 1[/mm]
>
> D. h., dieser Startwert [mm]x_0=1[/mm] würde dieser Bedingung
> genügen (?).
>
Ja.
>
> Für die kubische Wurzel aus 2 mit [mm]x_0=1[/mm] wäre
>
> [mm]\varphi\left(x\right) = \frac{1}{2}* \left( x +\frac{2}{x^2} \right)[/mm]
>
> [mm]\varphi'\left(x_0\right) = \frac{1}{2}* \left( 1 -\frac{4}{x_0^3} \right)[/mm]
>
> [mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)}= \frac{3}{2} \; \; nicht \; < 1[/mm]
>
> Hieße das, dass der Startwert [mm]x_0=1[/mm] ungeeignet wäre -
> obwohl die Folge mit diesem Starwert konvergiert (?).
>
Da die Bedinung
[mm]\vmat{\varphi'\left(x_{0}\right)} < 1[/mm]
nicht erfüllt ist, erhältst Du auch keine bessere Näherung.
[mm]\bruch{3}{2}[/mm] ist keine bessere Näherung für [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] als 1.
>
> LG, Martinius
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Do 28.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Im Gegensatz zum newtonverfahren liefert ja das Heronverfahren eine Intervallschachtelung. Du hast immer (abgesehen vom Startwert
[mm] x_n>\wurzel{R}, R/x_n<\wurzel{R} [/mm] das geometrische Mittel der 2 [mm] =\wurzel{R}
[/mm]
Wenn du das Heronverfahren verallgemeinern willst auf kte Wurzeln , ist es natürlich nicht so sinnvoll das arithmetische Mittel aus [mm] x_n [/mm] und [mm] R/x_n^{k-1} [/mm] zu nehmen. Wenn [mm] x_n [/mm] einen Fehler hat, dann [mm] x^{k} [/mm] den kfachen Fehler, also sollte es auch nur mit kleinerem Gewicht eingehen.
wenn du also bei der dritten Wurzel durch [mm] x^2 [/mm] teilst sollte der term nur das halbe Gewicht von x haben, also [mm] x_{n+1}=2/3x_n+1/3 R/x_n^2
[/mm]
entsprechend mit höheren Wurzeln.
Damit ein Fixpunktiteration konvergiert MUSS [mm] |\phi'(x_f)|<1 [/mm] sein und das noch in einer Umgebung von [mm] x_F, [/mm] wenn dann Startpunkt ausserhalb dieser <Umgebung liegt, aber beim ersten Schritt in die Umgebung kommt, wird das Verfahren -auch konvergieren (wie dein Bsp mit für dritte Wurzel.
Bei der 5 ten Wurzel divergiert das Verfahren, wenn du noch so genaue Anfangswerte nimmst! weil dort [mm] \phi'>0 [/mm] am fixpunkt.
gruss leduart
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> Damit ein Fixpunktiteration konvergiert MUSS
> [mm]|\phi'(x_f)|<1[/mm] sein und das noch in einer Umgebung von [mm]x_F,[/mm]
> wenn dann Startpunkt ausserhalb dieser <Umgebung liegt,
> aber beim ersten Schritt in die Umgebung kommt, wird das
> Verfahren -auch konvergieren (wie dein Bsp mit für dritte
> Wurzel.
> Bei der 5 ten Wurzel divergiert das Verfahren, wenn du
> noch so genaue Anfangswerte nimmst! weil dort [mm]\phi'>0[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
du meinst sicher [mm] |\phi'|>1 [/mm]
> am fixpunkt.
> gruss leduart
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Do 28.07.2011 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
vielen Dank für deinen post.
Ich werde wohl erst noch mein einführendes Numerik-Buch vollständig durchlesen müssen, bevor ich deinen post ganz nachvollziehen kann.
Nochmals Dank.
LG, Martinius
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> Jetzt habe ich mich gefragt, ob die Heronformel auch für
> höhere Wurzeln als die quadratische gilt.
>
> Im Internet habe ich für die k-te Wurzel folgendes
> gefunden:
>
> I Heron: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right)[/mm]
Hallo Martinius,
kannst du uns mitteilen, wo genau du diese Formel gefunden
hast ?
Ich denke, dass Heron nicht einverstanden wäre, dass
diese Formel für höhere als Quadratwurzeln mit seinem
Namen "geschmückt" wird. Sie ist nämlich wirklich nicht
ideal. Und wie ich den Kollegen Heron kenne, hätte er
das auch gemerkt und eine bessere Formel vorgeschlagen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Do 28.07.2011 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Jetzt habe ich mich gefragt, ob die Heronformel auch für
> > höhere Wurzeln als die quadratische gilt.
> >
> > Im Internet habe ich für die k-te Wurzel folgendes
> > gefunden:
> >
> > I Heron: [mm]x_{n+1}=\frac{1}{2}* \left( x_n +\frac{R}{x_n^{k-1}} \right)[/mm]
>
>
> Hallo Martinius,
>
> kannst du uns mitteilen, wo genau du diese Formel gefunden
> hast ?
> Ich denke, dass Heron nicht einverstanden wäre, dass
> diese Formel für höhere als Quadratwurzeln mit seinem
> Namen "geschmückt" wird. Sie ist nämlich wirklich nicht
> ideal. Und wie ich den Kollegen Heron kenne, hätte er
> das auch gemerkt und eine bessere Formel vorgeschlagen.
>
> LG Al-Chw.
>
Ich muss mich entschuldigen für meine voreilige Zuschreibung der Autorenschaft Herons bzgl. der höheren Wurzeln - da war ich gestern wohl etwas geistesabwend.
Ich habe im Buch von Berthold Schuppar "Elementare Numerische Mathematik" in einem Kapitel über Quadratwurzeln folgende Aufgabe gesehen:
5.) Betrachten Sie die folgenden rekursiv definierten Folgen: Es sei a > 0 beliebig und
(1) [mm] x_0=a [/mm] ; [mm] x_{n+1}=\frac{1}{2} \left(x_n+\frac{a}{x_n^2} \right)
[/mm]
(2) [mm] x_0=a [/mm] ; [mm] x_{n+1}=\frac{1}{3} \left(2x_n+\frac{a}{x_n^2} \right)
[/mm]
(3) [mm] x_0=a [/mm] ; [mm] x_{n+1}=\sqrt{\frac{a}{x_n}}
[/mm]
Berechnen Sie für a = 2 jeweils einige Folgenglieder. Beschreiben Sie das Verhalten der Folge. Was vermuten Sie bezüglich der Konvergenz und ggfs. des Grenzwertes?
Ich hatte - unrichtigerweise - angenommen, dass (1) eine nach Heron verallgemeinerte Formel für eine kubische Wurzel sei. Sorry.
LG, Martinius
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OK
danke für die Rückmeldung
LG Al-Chw.
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