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| Aufgabe | Bestimmen Sie unter Verwendung der sogenannten Heronschen Formel
$F = [mm] \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}$
[/mm]
für den Flächeninhalt eines Dreiecks vom Umfang $2s$ und mit den Seitenlängen $a,b,c$ unter den Dreiecken gleichen Umfangs das mit der größten Fläche. |
Halloe Zusammen. Eigentlich eine simple Aufgabe aber ich komm irgendwie nicht vorran.
Also erst mal, was wissen aus der Aufgabenstellung?
1) $2s = a+b+c$ mit $s > 0$ (natürlich)
2) $a,b,c > 0$ (denn sonst wärs ja irgendwo quatsch)
3) $a,b,c < s$
3) gilt denn:
i) Angenommen $a = s [mm] \Rightarrow [/mm] F = 0$
Wir suchen aber wenn dann ein Maximum. Da $F [mm] \geq [/mm] 0$ gilt, $a = s$ nur ein Minimum sein. (analog mit $b = s$ und $c = s$)
ii) Angenommen $a > s [mm] \Rightarrow [/mm] s > b+c$. Letzteres geht allerdings logisch nicht, denn dann würde sich kein Dreieck mehr erstellen lassen können. Verstößt also gegen 1).
So. Jetzt hab ich mir die Funktion angeschaut.
[mm] $F_s(a,b,c) [/mm] = [mm] \sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}$
[/mm]
Sei g eine Hilfsfunktion gegeben durch:
[mm] $g_s(a,b,c) [/mm] = [mm] (s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)$
[/mm]
Wir untersuchen lediglich die Hilfsfunktion g auf Extrema, denn aus der streng wachsenden Monotonie der Wurzelfunktion und der unveränderlichen (aber beliebigen) Konstanten s folgt, dass ein Extremum von g auch ein Extremum von F ist.
Also leiten wir mal g ab:
[mm] $J_{g_s}^T \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} [/mm] = [mm] -\begin{bmatrix}(s-b)(s-c)\\(s-a)(s-c)\\(s-a)(s-b)\end{bmatrix}$
[/mm]
So ab jetzt wirds irgendwie komisch. Ein notwendiges Kriterium eines Extremum ist, dass die Ableitung (also hier die Jacobi-Matrix) Null wird.
Nun auf den ersten Blick gar nicht, wegen 3).
Mit umformen wird das allerdings auch nichts, da ich immer nu ein Extremum finde das 1), 2) oder 3) Widerspricht.
Ich find einfach keine Lösung. Mach ich grundlegend was falsch?
Bitte helft :)
Liebe Grüße
Highchiller
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Ich denke das ist unter Umständen von Interesse. Seit einiger Zeit quälen wir uns in Analysis durch Untermannigfaltigkeiten. Leider hab ich davon noch überhaupt keine Ahnung, da ich mit lernen für eine andere Klausur beschäftigt war.
Kann es sein, dass es sich bei den Aufgaben um Untermannigfaltigkeiten handelt und man dort ein wenig anders Differenziert bzw. Extremwerte sucht?
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> Bestimmen Sie unter Verwendung der sogenannten Heronschen
> Formel
> [mm]F = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}[/mm]
> für den
> Flächeninhalt eines Dreiecks vom Umfang [mm]2s[/mm] und mit den
> Seitenlängen [mm]a,b,c[/mm] unter den Dreiecken gleichen Umfangs
> das mit der größten Fläche.
> Hallo Zusammen. Eigentlich eine simple Aufgabe aber ich
> komm irgendwie nicht voran.
>
> Also erst mal, was wissen aus der Aufgabenstellung?
> 1) [mm]2s = a+b+c[/mm] mit [mm]s > 0[/mm] (natürlich)
> 2) [mm]a,b,c > 0[/mm] (denn sonst wärs ja irgendwo quatsch)
> 3) [mm]a,b,c < s[/mm]
>
> 3) gilt denn:
> i) Angenommen [mm]a = s \Rightarrow F = 0[/mm]
> Wir suchen aber wenn
> dann ein Maximum. Da [mm]F \geq 0[/mm] gilt, [mm]a = s[/mm] nur ein Minimum
> sein. (analog mit [mm]b = s[/mm] und [mm]c = s[/mm])
> ii) Angenommen [mm]a > s \Rightarrow s > b+c[/mm].
> Letzteres geht allerdings logisch nicht, denn dann würde
> sich kein Dreieck mehr erstellen lassen können. Verstößt
> also gegen 1).
>
> So. Jetzt hab ich mir die Funktion angeschaut.
> [mm]F_s(a,b,c) = \sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}[/mm]
>
> Sei g eine Hilfsfunktion gegeben durch:
> [mm]g_s(a,b,c) = (s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)[/mm]
Gut, den zusätzlichen Faktor s kannst du weglassen, da
der ja (als konstanter Wert) vorgegeben ist.
> Wir untersuchen lediglich die Hilfsfunktion g auf Extrema,
> denn aus der streng wachsenden Monotonie der Wurzelfunktion
> und der unveränderlichen (aber beliebigen) Konstanten s
> folgt, dass ein Extremum von g auch ein Extremum von F
> ist.
>
> Also leiten wir mal g ab:
> [mm]J_{g_s}^T \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = -\begin{bmatrix}(s-b)(s-c)\\(s-a)(s-c)\\(s-a)(s-b)\end{bmatrix}[/mm]
>
> So ab jetzt wirds irgendwie komisch. Ein notwendiges
> Kriterium eines Extremum ist, dass die Ableitung (also hier
> die Jacobi-Matrix) Null wird.
> Nun auf den ersten Blick gar nicht, wegen 3).
> Mit umformen wird das allerdings auch nichts, da ich immer
> nu ein Extremum finde das 1), 2) oder 3) Widerspricht.
>
> Ich find einfach keine Lösung. Mach ich grundlegend was
> falsch?
> Bitte helft :)
>
> Liebe Grüße
> Highchiller
Hallo,
der Grund, dass die Rechnung "komisch" wird, liegt daran,
dass du nicht die Funktion [mm] g_s [/mm] (mit drei Variablen), sondern
eine Funktion [mm] h_s [/mm] mit nur 2 Variablen betrachten solltest,
denn a, b und c sind ja nicht unabhängige Variablen, sondern
durch die Bedingung $\ a+b+c\ =\ [mm] 2\,s$ [/mm] miteinander verknüpft.
Setze also
$\ [mm] h_s(a,b):=\ g(a\,,\,b\,,\,2\,s-a-b)$
[/mm]
und untersuche diese Funktion auf Extrema.
LG Al-Chw.
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Die Idee war super. Vielen Dank.
Damit erhalte ich:
[mm] $h_s [/mm] = (s-a)(s-b)(-s+a+b)$
[mm] $J_{h_s}^T [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}-(s-b)(-s+a+b) + (s-a)(s-b)\\-(s-a)(-s+a+b) + (s-a)(s-b)\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}(s-b)[(s-a-b) + (s-a))]\\(s-a)[(s-a-b) + (s-b))]\end{bmatrix}$
[/mm]
Mit $s - a [mm] \neq [/mm] 0$ und $s - b [mm] \neq [/mm] 0$ folgt nach rumrechnen:
[mm] $J_{h_s}^T [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = b = [mm] \frac{2}{3}$
[/mm]
Mit $2s = a + b + c$ folgt: $c = [mm] \frac{2}{3}$
[/mm]
Damit haben wir ein Extremum gefunden. Nun meine Frage.
Wir haben oben ja schon mal gezeigt, der Nullpunkt enthält als einziger Punkt ein weiteres Extrema. Dabei handelt es sich um ein Minimum. Nach dem Zwischenwertsatz und der strengen Monotonie der Wurzelfunktion kann es sich bei $a = b = c = [mm] \frac{2}{3}$ [/mm] nur noch um ein Maximum handeln.
Damit ist das Dreieck mit der größtenfläche, stets das gleichseitige Dreieck.
Stimmt diese letzte Folgerung vor dem Absatz? Oder muss ich extra die Hesse-Matrix überprüfen?
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Ich weiß grad nicht wie ich meinen Beitrag editieren kann (vor allem ob überhaupt). Es fehlen nämlich 2 's'!
Im Endeffekt muss da stehen:
$a = b = c = [mm] \frac{2}{3}s$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Sa 04.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein weiteres min. kann es wegen der Stetigkeit der fkt nicht sein. wie schließt du mit dem ZWS einen Sattel aus?
mit der Monotonie der Wurzelfkt konntest du nur begründen, dass du Extremwerte des Radikanten suchst, statt der Wurzel.
aner die fkt ist auf ihrem deg hebiet bschränkt, muss also ein max annehmen, wenn sie nicht konstant ist.
Gruss leduart
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