Hesse Matrix ( der Aufbau) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu und guten Morgen ;)
Ich hab ein paar Fragen zum Aufbau der Hesse matrix un dwie sie aufgebaut ist. Einmal bei 3 Variablen und einmal bei 2.
einfachherheitshalber bezeichne ich hierzu die zweiten Ableitungen als f_xx , f_yy , f_xy und f_yx . dann sieht die Hesse Matrix nach meinem Buch so aus:
[mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}}
[/mm]
dabei nehme ich an, dass die zwiten Ableitungen die strikt nach einer variablen gehen, auf der Hauptdiagonalen stehen. laut meinem Buch sind bei der Hesse Matrix die Einträge f_xy und f_yx gleich, also dass die Matrix symmetrisch ist, sodass ich auch einfach 2 x f_yx bzw 2 x f_xy reinschreiben kann. Allerdings ist dies doch nur dann nach dem Lemma von Schwarz, wenn f total differenzierbar ist, oder? Was ist denn dann, wenn ich eine Hesse Matrix habe, die dann nicht symmetrisch ist weil das Lemma von Schwarz nicht gilt? Wie sieht dann im allg. die Anordnung der Ableitungen aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> huhu und guten Morgen ;)
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> Ich hab ein paar Fragen zum Aufbau der Hesse matrix un dwie
> sie aufgebaut ist. Einmal bei 3 Variablen und einmal bei
> 2.
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> einfachherheitshalber bezeichne ich hierzu die zweiten
> Ableitungen als f_xx , f_yy , f_xy und f_yx . dann sieht
> die Hesse Matrix nach meinem Buch so aus:
>
> [mm]\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}}[/mm]
Ja
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> dabei nehme ich an, dass die zwiten Ableitungen die strikt
> nach einer variablen gehen, auf der Hauptdiagonalen stehen.
Ja
> laut meinem Buch sind bei der Hesse Matrix die Einträge
> f_xy und f_yx gleich, also dass die Matrix symmetrisch
> ist,
Das ist der Fall, wenn f 2-mal stetig differenzierbar ist. Das bedeutet:
Sämtliche partiellen Ableitungen von f bis zur Ordnung 2 existieren auf dem Definitionsbereich von f und sind dort stetig.
> sodass ich auch einfach 2 x f_yx bzw 2 x f_xy
> reinschreiben kann.
Hä ? Was meinst Du damit ?
> Allerdings ist dies doch nur dann nach
> dem Lemma von Schwarz, wenn f total differenzierbar ist,
> oder?
Totale Differenzierbarkeit genügt nicht. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung müssen existieren und stetig sein.
> Was ist denn dann, wenn ich eine Hesse Matrix habe,
> die dann nicht symmetrisch ist weil das Lemma von Schwarz
> nicht gilt?
Dann ist die Hessematrix halt nicht symmetrisch.
> Wie sieht dann im allg. die Anordnung der
> Ableitungen aus?
So:
[mm] \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{i,j=1,\dots, n}= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\[,5em] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix}. [/mm]
FRED
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