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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 06.12.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo Matheraum...
ich habe leider ein kleines Verständnisproblem mit der folgenden Aufgabe und hoffe ihr könnt mir noch einmal helfen...
Sei f: [mm] \IR^3 \to \IR, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto 5x^2 [/mm] + 4xy + [mm] y^2 [/mm] + [mm] 2z^2
[/mm]
Berechne die Hessematrix f''(x,y,z), deren Eigenwerte und die Hesseform [mm] hess_{(x,y,z)}f [/mm] von f für alle (x,y,z) [mm] \in \IR^3. [/mm] Finde alle lokalen Extremalstellen und prüfe, ob dort Minima oder Maxima vorliegen. Sind diese Extrema global?
Hinweis für (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] ist [mm] hess_{(x,y,z)}f:\IR^3 \to \IR, \vec{u} \mapsto \vec{u}^T [/mm] f''(x,y,z) [mm] \vec{u}
[/mm]
Leider habe ich nicht so wirklich Ahnung, ob ich da jetzt richtig rangehe, aber ich würde folgendes machen:
Zunächst ergibt sich für die Hessematrix: [mm] f''(x,y,z)=\pmat{ 10 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Die Eigenwerte erhalte ich nun doch eigentlich durch det [mm] \pmat{ 10-\Lambda & 4 & 0 \\ 4 & 2-\Lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\Lambda } [/mm] und somit [mm] \Lambda^3-16 \Lambda^2 [/mm] + 52 [mm] \Lambda [/mm] -16=0
Die Eigenwerte sind hierfür [mm] \Lambda_1=4 [/mm] und nach Polynomdivision [mm] \Lambda_{2,3}=6 \pm \wurzel{32}.
[/mm]
Leider weiß ich nun nicht, ob ich auf dem richtigen Weg bin und wie ich hieraus die Hesseform [mm] hess_{(x,y,z)}f [/mm] berechnen kann...
ich hoffe ihr könnt mir ein letztes mal helfen...
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Di 06.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo Matheraum...
>
> ich habe leider ein kleines Verständnisproblem mit der
> folgenden Aufgabe und hoffe ihr könnt mir noch einmal
> helfen...
>
> Sei f: [mm]\IR^3 \to \IR,[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto 5x^2[/mm] + 4xy + [mm]y^2[/mm] + [mm]2z^2[/mm]
> Berechne die Hessematrix f''(x,y,z), deren Eigenwerte und
> die Hesseform [mm]hess_{(x,y,z)}f[/mm] von f für alle (x,y,z) [mm]\in \IR^3.[/mm]
> Finde alle lokalen Extremalstellen und prüfe, ob dort
> Minima oder Maxima vorliegen. Sind diese Extrema global?
>
> Hinweis für (x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] ist [mm]hess_{(x,y,z)}f:\IR^3 \to \IR, \vec{u} \mapsto \vec{u}^T[/mm]
> f''(x,y,z) [mm]\vec{u}[/mm]
>
> Leider habe ich nicht so wirklich Ahnung, ob ich da jetzt
> richtig rangehe, aber ich würde folgendes machen:
>
> Zunächst ergibt sich für die Hessematrix:
> [mm]f''(x,y,z)=\pmat{ 10 & 4 & 0 \\
4 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4 }[/mm]
stimmt.
> Die Eigenwerte erhalte ich nun doch eigentlich durch det
> [mm]\pmat{ 10-\Lambda & 4 & 0 \\
4 & 2-\Lambda & 0 \\
0 & 0 & 4-\Lambda }[/mm]
> und somit [mm]\Lambda^3-16 \Lambda^2[/mm] + 52 [mm]\Lambda[/mm] -16=0
>
> Die Eigenwerte sind hierfür [mm]\Lambda_1=4[/mm] und nach
> Polynomdivision [mm]\Lambda_{2,3}=6 \pm \wurzel{32}.[/mm]
stimmt auch.
>
> Leider weiß ich nun nicht, ob ich auf dem richtigen Weg
> bin und wie ich hieraus die Hesseform [mm]hess_{(x,y,z)}f[/mm]
> berechnen kann...
1. Du bist auf dem richtigen Weg. 2. Den Tipp verwenden!
Hinweis: [mm]\textrm{Für} \ \ (x,y,z)\in\IR^3 \ \ \textrm{ist} \ \ hess_{(x,y,z)}f:\IR^3 \to \IR, \vec{u} \mapsto \vec{u}^T*f''(x,y,z)*\vec{u}[/mm]
[mm]f''(x,y,z)[/mm] hast du ja bereits bestimmt. Also kannst du jetzt die Hesseform bestimmen.
>
> ich hoffe ihr könnt mir ein letztes mal helfen...
>
> mfg thadod
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Mi 07.12.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo Barsch... Und danke für die Antwort...
Aber wie ist mein [mm] \vec{u} [/mm] definiert? Handelt es sich hierbei um die Eigenwerte, die ich bereits berechnet habe?
Nachdem ich die Hesseform bestimmt habe, wovon berechne ich meine Extremalstellen. Berechne ich die Extremalstellen der Funktion f oder die Extrewmalstellen der hesseform?
MfG thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Barsch... Und danke für die Antwort...
>
> Aber wie ist mein [mm]\vec{u}[/mm] definiert? Handelt es sich
> hierbei um die Eigenwerte, die ich bereits berechnet habe?
Nein. Für [mm]\vec{u}=\vektor{u_1 \\ u_2 \\ u_3} \in \IR^3[/mm] sollst Du berechnen:
[mm] $\vec{u}^T*\pmat{ 10 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 } *\vec{u}$
[/mm]
>
> Nachdem ich die Hesseform bestimmt habe, wovon berechne ich
> meine Extremalstellen. Berechne ich die Extremalstellen der
> Funktion f oder die Extrewmalstellen der hesseform?
Von f.
FRED
>
> MfG thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Mi 07.12.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo Fred und danke für die Antwort...
Hier nochmal der ausführliche Rechenweg:
Sei f: [mm] \IR^3 \to \IR, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto 5x^2 [/mm] + 4xy + [mm] y^2 [/mm] + [mm] 2z^2
[/mm]
Berechne die Hessematrix f''(x,y,z), deren Eigenwerte und die Hesseform [mm] hess_{(x,y,z)}f [/mm] von f für alle (x,y,z) [mm] \in \IR^3. [/mm] Finde alle lokalen Extremalstellen und prüfe, ob dort Minima oder Maxima vorliegen. Sind diese Extrema global?
Hinweis für (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] ist [mm] hess_{(x,y,z)}f:\IR^3 \to \IR, \vec{u} \mapsto \vec{u}^T [/mm] f''(x,y,z) [mm] \vec{u}
[/mm]
Zunächst berechne ich die Hessematrix f''(x,y,z):
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=10x [/mm] + 4y [mm] \Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}=10
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=4x [/mm] + 2y [mm] \Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}=2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=4z \Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial z^2}=4
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial f}{\partial y \partial x}=4 [/mm] (Wegen Satz von Schwarz!)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial z}=\bruch{\partial f}{\partial z \partial x}=0 [/mm] (Wegen Satz von Schwarz!)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y \partial z}=\bruch{\partial f}{\partial z \partial y}=0 [/mm] (Wegen Satz von Schwarz!)
Es ergibt sich somit die Hessematrix [mm] f''(x,y,z)=\pmat{ 10 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Ich berechne nun Die Eigenwerte der Hessematrix:
[mm] det\pmat{ 10-\Lambda & 4 & 0 \\ 4 & 2-\Lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\Lambda }=(10-\Lambda) \cdot (2-\Lambda) \cdot (4-\Lambda)+0+0-0-0-(4-\Lambda) \cdot [/mm] 16
[mm] det\pmat{ 10-\Lambda & 4 & 0 \\ 4 & 2-\Lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\Lambda }=20-10\Lambda-2\Lambda+\Lambda^2 \cdot (4-\Lambda) [/mm] - 64 + [mm] 16\Lambda
[/mm]
[mm] det\pmat{ 10-\Lambda & 4 & 0 \\ 4 & 2-\Lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\Lambda }=20-12\Lambda+\Lambda^2 \cdot (4-\Lambda) [/mm] - 64 + [mm] 16\Lambda
[/mm]
[mm] det\pmat{ 10-\Lambda & 4 & 0 \\ 4 & 2-\Lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\Lambda }=80-20\Lambda-48\Lambda+12\Lambda^2 +4\Lambda^2 [/mm] - [mm] \Lambda^3 [/mm] - 64 + [mm] 16\Lambda
[/mm]
[mm] det\pmat{ 10-\Lambda & 4 & 0 \\ 4 & 2-\Lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\Lambda }= -\Lambda^3 [/mm] + 16 [mm] \Lambda^2 [/mm] - [mm] 52\Lambda [/mm] + 16
Und somit [mm] \Lambda^3-16\Lambda^2+52\Lambda-16=0
[/mm]
Erster Eigenwert durch raten, bzw. durch wissen, dass 16 durch diese Zahl teilbar ist... ergibt die 4.
Durch Polynomdivision, also [mm] \Lambda^3-16\Lambda^2+52\Lambda-16:(\Lambda-4) [/mm] ergibt sich das Polynom [mm] x^2-12x+4. [/mm] Und hierrauf die p/q Formel angewandt ergibt [mm] \Lambda_{2,3}=6 \pm \wurzel{32}
[/mm]
Und somit [mm] \Lambda_1=4, \Lambda_{(2,3)}=6 \pm \wurzel{32}
[/mm]
Wie komme ich nun aber somit auf meinen Vektor [mm] \vec{u}?????
[/mm]
Ich möchte dann zunächst die kritischen Stellen der Funktion f ermitteln, die relevant für Extremalstellen sind.
Notwendiges Kriterium: [mm] grad_{(x,y,z)}= \vec{0}
[/mm]
Ich hatte bereits berechnet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=10x [/mm] + 4y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=4x [/mm] + 2y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=4z
[/mm]
Somit ergibt sich [mm] grad_{(x,y,z)}=\vektor{10x+4y \\ 4x+2y \\ 4z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ich habe nun versucht das Gleichungssystem mehrmals zu lösen, komme aber immer wieder auf x=0, y=0, z=0 als einzige kritische Stellen. Kann das sein?????
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 07.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
den ersten Teil hatten wir ja bereits in der ersten Antwort. Deswegen beschränken wir uns auf deine 2 wichtigsten Fragen:
> Wie komme ich nun aber somit auf meinen Vektor
> [mm]\vec{u}?????[/mm]
[mm]u\in\IR^3[/mm] ist ein "allgemeiner" Vektor mit [mm]u=(u_1,u_2,u_3)^T[/mm]. u ist nicht explizit zu bestimmen.
Die Abbildung [mm]hess_{(x,y,z)}f:\IR^3 \to \IR, \vec{u} \mapsto \vec{u}^T\cdot{}f''(x,y,z)\cdot{}\vec{u} [/mm] heißt Hesseform von f in [mm](x,y,z)[/mm].
Es ist [mm]hess_{(x,y,z)}f(u)=hess_{(x,y,z)}f((u_1,u_2,u_3))=(u_1,u_2,u_3)*\pmat{ 10 & 4 & 0 \\
4 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4 }*\vektor{u_1 \\
u_2\\
u_3}=...[/mm] (das musst du jetzt "ausrechnen")
>
> Ich möchte dann zunächst die kritischen Stellen der
> Funktion f ermitteln, die relevant für Extremalstellen
> sind.
>
> Notwendiges Kriterium: [mm]grad_{(x,y,z)}= \vec{0}[/mm]
>
> Ich hatte bereits berechnet:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=10x[/mm] + 4y
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=4x[/mm] + 2y
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}=4z[/mm]
>
> Somit ergibt sich [mm]grad_{(x,y,z)}=\vektor{10x+4y \\
4x+2y \\
4z}=\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> Ich habe nun versucht das Gleichungssystem mehrmals zu
> lösen, komme aber immer wieder auf x=0, y=0, z=0 als
> einzige kritische Stellen. Kann das sein?????
ja.
>
> mfg thadod
Gruß
barsch
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