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Hallo sehr geehrter Matheraum und danke das du niemals müde wirst... :)
Ich habe ein Problem mit folgender Funktion:
f: [mm] \IR^3 \to \IR, [/mm] (x,y,z) [mm] \to 5x^2+4xy+y^2+2z^2
[/mm]
Es geht nun darum die Extremalstellen zu finden.
Ich komme zunächst zum notwendigen Kriterium:
[mm] grad_{\vec{x}}f=0
[/mm]
das heißt, es müssen zunächst die 1. partiellen Ableitungen gebildet werden.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=10x [/mm] + 4y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=4x [/mm] + 2y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=4z
[/mm]
und somit [mm] grad_{\vec{x}}f=\vektor{10x + 4y \\ 4x + 2y \\ 4z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
ich löse nun beispielweise 10x+4y nach x oder y auf oder beispielsweise 4x+2y nach x oder y auf und setze anschließend das Ergebnis in die andere Gleichung... Aber egal was ich mache, ich komme immer auf die krit Stellen x=0 und y=0
als einzige und unverkennbare richtige Lösung erhalte ich z=0... Mach ich irgendetwas falsch oder muss ich das anders versuchen zu lösen???
Need your Help... Please...
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo sehr geehrter Matheraum und danke das du niemals
> müde wirst... :)
>
> Ich habe ein Problem mit folgender Funktion:
>
> f: [mm]\IR^3 \to \IR,[/mm] (x,y,z) [mm]\to 5x^2+4xy+y^2+2z^2[/mm]
>
> Es geht nun darum die Extremalstellen zu finden.
>
> Ich komme zunächst zum notwendigen Kriterium:
>
> [mm]grad_{\vec{x}}f=0[/mm]
>
> das heißt, es müssen zunächst die 1. partiellen
> Ableitungen gebildet werden.
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=10x[/mm] + 4y
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=4x[/mm] + 2y
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}=4z[/mm]
>
> und somit [mm]grad_{\vec{x}}f=\vektor{10x + 4y \\ 4x + 2y \\ 4z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> ich löse nun beispielweise 10x+4y nach x oder y auf oder
> beispielsweise 4x+2y nach x oder y auf und setze
> anschließend das Ergebnis in die andere Gleichung... Aber
> egal was ich mache, ich komme immer auf die krit Stellen
> x=0 und y=0
>
> als einzige und unverkennbare richtige Lösung erhalte ich
> z=0... Mach ich irgendetwas falsch oder muss ich das anders
> versuchen zu lösen???
>
Die errechnete kritische Stelle ist schon richtig.
> Need your Help... Please...
>
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower... Ich danke dir für die Hilfe...
Ich habe nun auch keine weiteren krit Stellen gefunden, weshalb ich mich nun auf dem Weg zur Hessematrix machen wollte...
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=10x [/mm] + 4y [mm] \Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}=10
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=4x [/mm] + 2y [mm] \Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}=2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial z^2}=4z \Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial z^2}=4
[/mm]
Und wegen dem Satz von Schwarz gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial f}{\partial y \partial x}=4
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial z}=\bruch{\partial f}{\partial z \partial x}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y \partial z}=\bruch{\partial f}{\partial z \partial y}=0
[/mm]
Und es ergibt sich die Hessematrix:
[mm] hess_{(x,y,z)}=\pmat{ 10 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Und dessen Determinante ist [mm] det\pmat{ 10 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }=16
[/mm]
da die Determinante=16 > 0 und [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}=10>0, [/mm] handelt es sich im Punkt (0,0,0) um ein lokales Minimum. Dieses Minimum ist auch global...
habt ihr nocht weitere kirt Punkte? ist das Minimum wirklich global? Es gibt ja keinen kleineren Punkt oder???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo Mathepower... Ich danke dir für die Hilfe...
>
> Ich habe nun auch keine weiteren krit Stellen gefunden,
> weshalb ich mich nun auf dem Weg zur Hessematrix machen
> wollte...
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=10x[/mm] + 4y [mm]\Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}=10[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=4x[/mm] + 2y [mm]\Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}=2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial z^2}=4z \Rightarrow \bruch{\partial^2 f}{\partial z^2}=4[/mm]
>
> Und wegen dem Satz von Schwarz gilt:
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial f}{\partial y \partial x}=4[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial z}=\bruch{\partial f}{\partial z \partial x}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y \partial z}=\bruch{\partial f}{\partial z \partial y}=0[/mm]
>
> Und es ergibt sich die Hessematrix:
>
> [mm]hess_{(x,y,z)}=\pmat{ 10 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Und dessen Determinante ist [mm]det\pmat{ 10 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }=16[/mm]
>
> da die Determinante=16 > 0 und [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}=10>0,[/mm]
> handelt es sich im Punkt (0,0,0) um ein lokales Minimum.
> Dieses Minimum ist auch global...
>
> habt ihr nocht weitere kirt Punkte? ist das Minimum
> wirklich global? Es gibt ja keinen kleineren Punkt oder???
>
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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