Hessematrix und Eigenwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme den kritischen Punkt der Funktion f(x,y,z) = [mm] x*e^{y} [/mm] + yz + zx.
Handelt es sich dabei um ein lokales Extremum? Begründe! |
Hallo ihr lieben!
Wir sind gerade beim Thema der Extremstellen von Fkt mehrerer Veränderlicher.. Normalerweise stelle ich immer einfach die Hessematrix auf und bisher war sie immer "schön", so dass man gleich herauslesen konnte, ob Maximum/minimum/Sattelpunkt..
Bei dieser Aufgabe tue ich mir da leider nicht so leicht.. Wir haben sie in der Uni vorgerechnet bekommen und ich komme ab einem bestimmten Punkt einfach nicht mehr mit:
Als kritischen Punkt habe ich erhatlen: (1,-1,-1/e) und es ist
Hessf(1,-1,1/e) = [mm] \pmat{ 0 & 1/e & 1 \\ 1/e & 1/e & 1 \\ 1 & 1 & 0}.
[/mm]
Normalerweise kann man nun einfach positiv/negativ definit usw mit Hurwitz überprüfen.
In der Uni hat der Dozent jetzt aber etwas "komisches" gemacht, was ich leider so gar nicht nachvollziehen kann. Und zwar irgendwas mit Eigenwerten:
[mm] ChiA(\lambda) [/mm] = det (A- [mm] \lambda*E3)=...= -\lambda^3 [/mm] + [mm] 1/2*\lambda^2 [/mm] + [mm] (2+1/e^2)*\lambda [/mm] +1/e
1. Frage: Ich muss doch Linearkombinationen erhalten, oder? Das hier ist ja keine?
dann wird folgendes gemacht: Es ist
ChiA(0)=1/e >0 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}ChiA(\lambda)=-\infty. [/mm] => Es existiert [mm] \lambda1 [/mm] mit [mm] ChiA(\lambda1)=0 [/mm]
und
ChiA(-1)=1+2/e - [mm] (2-1/e^2) [/mm] > 0 und ChiA(0)=1/e >0 => Es existiert [mm] \lambda2 [/mm] mit [mm] ChiA(\lambda2)=0 [/mm]
Somit hat A positive und negative Eigenwerte, ist also indefinit, es gibt also kein Extremum...
Häää??? Wie kann ich denn daraus, dass ich zwei mögliche Nullstellen finde, schließen, dass ich positive und negative Eigenwerte hab? Und was haben die Eigenwerte in dem Falle überhaupt mit der Hessematrix zu tun? (Ich dachte, dass man die ja einfach "ablesen" kann wenns ne obere Dreiecksmatrix ist, und ansonsten nicht)...
Wäre toll wenn mir jemand das kurz erklären könnte!:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Do 20.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme den kritischen Punkt der Funktion f(x,y,z) =
> [mm]x*e^{y}[/mm] + yz + zx.
> Handelt es sich dabei um ein lokales Extremum? Begründe!
> Hallo ihr lieben!
> Wir sind gerade beim Thema der Extremstellen von Fkt
> mehrerer Veränderlicher.. Normalerweise stelle ich immer
> einfach die Hessematrix auf und bisher war sie immer
> "schön", so dass man gleich herauslesen konnte, ob
> Maximum/minimum/Sattelpunkt..
>
> Bei dieser Aufgabe tue ich mir da leider nicht so leicht..
> Wir haben sie in der Uni vorgerechnet bekommen und ich
> komme ab einem bestimmten Punkt einfach nicht mehr mit:
>
> Als kritischen Punkt habe ich erhatlen: (1,-1,-1/e) und es
> ist
>
> Hessf(1,-1,1/e) = [mm]\pmat{ 0 & 1/e & 1 \\ 1/e & 1/e & 1 \\ 1 & 1 & 0}.[/mm]
>
> Normalerweise kann man nun einfach positiv/negativ definit
> usw mit Hurwitz überprüfen.
>
> In der Uni hat der Dozent jetzt aber etwas "komisches"
> gemacht, was ich leider so gar nicht nachvollziehen kann.
> Und zwar irgendwas mit Eigenwerten:
>
> [mm]ChiA(\lambda)[/mm] = det (A- [mm]\lambda*E3)=...= -\lambda^3[/mm] +
> [mm]1/2*\lambda^2[/mm] + [mm](2+1/e^2)*\lambda[/mm] +1/e
> 1. Frage: Ich muss doch Linearkombinationen erhalten,
> oder? Das hier ist ja keine?
Haä ? ChiA ist doch das char. Polynom von A !!!
Im Folgenden nenne ich es p.
>
> dann wird folgendes gemacht: Es ist
> ChiA(0)=1/e >0 und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}ChiA(\lambda)=-\infty.[/mm] => Es
> existiert [mm]\lambda1[/mm] mit [mm]ChiA(\lambda1)=0[/mm]
Hier wird gezeigt, dass es ein [mm] \lambda_1 [/mm] >0 gibt mit [mm] p(\lambda_1)=0
[/mm]
Damit besitzt A einen positiven Eigenwert, nämlich [mm] \lamba_1.
[/mm]
>
> und
> ChiA(-1)=1+2/e - [mm](2-1/e^2)[/mm] > 0 und ChiA(0)=1/e >0 => Es
> existiert [mm]\lambda2[/mm] mit [mm]ChiA(\lambda2)=0[/mm]
Hier wird gezeigt, dass es ein [mm] \lambda_2 [/mm] <0 gibt mit [mm] p(\lambda_2)=0
[/mm]
Damit besitzt A einen negativen Eigenwert, nämlich [mm] \lamba_2.
[/mm]
>
> Somit hat A positive und negative Eigenwerte, ist also
> indefinit, es gibt also kein Extremum...
>
>
> Häää??? Wie kann ich denn daraus, dass ich zwei
> mögliche Nullstellen finde, schließen, dass ich positive
> und negative Eigenwerte hab?
Nullstellen des char. Polynoms von A sind Eigenwerte von A !
> Und was haben die Eigenwerte
> in dem Falle überhaupt mit der Hessematrix zu tun?
Hat die Hessematrix einen positiven und einen negativen Eigenwert, so ist sie indefinit.
FRED
> (Ich
> dachte, dass man die ja einfach "ablesen" kann wenns ne
> obere Dreiecksmatrix ist, und ansonsten nicht)...
>
> Wäre toll wenn mir jemand das kurz erklären könnte!:)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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vielen Dank schon mal, jetzt ist es mir schon ein bisschen klarer! :)
Allerdings ist mir folgendes noch nicht ganz klar:
> dann wird folgendes gemacht: Es ist
> ChiA(0)=1/e >0 und
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}ChiA(\lambda)=-\infty. [/mm] $ => Es
> existiert $ [mm] \lambda1 [/mm] $ mit $ [mm] ChiA(\lambda1)=0 [/mm] $
Hier wird gezeigt, dass es ein $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ >0 gibt mit $ [mm] p(\lambda_1)=0 [/mm] $
Damit besitzt A einen positiven Eigenwert, nämlich $ [mm] \lamba_1. [/mm] $
Wie kann ich denn hier rauslesen, dass der Eigenwert positiv ist? Weil ich zeige doch nur, dass das Charakteristische Polynom irgendwo eine Nullstelle hat. aber über den Eigenwert an sich weiß ich doch noch nichts? Oder übersehe ich das gerade?
Und kann ich Aufgaben immer so lösen? Also anstatt Hurwitz und positiv definit die Eigenwerte so "ungenau" bestimmen?
Weil bei dieser Matrix
Hessf(1,-1,1/e) = $ [mm] \pmat{ 0 & 1/e & 1 \\ 1/e & 1/e & 1 \\ 1 & 1 & 0}. [/mm] $
erhalte ich ja mit Hurwitz immer nur 0, was würde das für mich bedeuten, wenn ich auf diesem Weg gehe?
Danke! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Do 20.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn p(a)<0 und p(b)>0 wp liegt dann die Nst. ? hier a=1/e, b= [mm] \infty
[/mm]
Gruss leduart
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