Hessesche Normalenform < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Do 13.09.2012 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abstand |
Hallo Leute. Ich soll und ich kann nach eine Chema "F" den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen. Dazu benötige ich z.B. die Hessesche Normalenform. Das ist eine gute und in meinen Augen einfache Möglichkeit zu einem Ergebnis zu kommen. Um dieses VErfahren weiterhin verwenden zu können, brauche ich mehrere Erklärungen. Und zwar verstehe ich manche Vorgehen nicht ganz. Ich hoffe das macht nichts, wenn ich einen Link mit meiner schriftlichen Vorgehensweise hier poste. Es ist privat und dient nur dazu, besser meine Schritte und Fragen nachvollziehen zu können.
Hier meine Lösung:
Gegeben sind 3 Punkte im Koordinatensystem. Den Abstand zu einem Punkt soll ich berechnen.
http://s1.directupload.net/file/d/3012/46qj6qzg_jpg.htm
Nun meine Fragen dazu:
(1). Rosa markiert: Aufstellen der Hess. Normalenform. Ich stelle Formel für den ORTSVEKTOR X auf, welches auf der Geraden BC liegt. Ist das richtig? Falls ja, warum gilt hier x - c?
(2). Beim Schritt "NUN EINSETZTEN" muss ich den Vektor n bestimmen, da er mir ja nicht gegeben ist. Ansich kein Problem aber..... hier habe ich ja n als mein Richtungsvektor XA definiert, wieso berechne ich diesen jetzt speziel in dieser form aus?
Für den Vektor n gilt nun (1/1). Das finde ich allerdings niergends auf meiner Skizze und daher verwirrt mich das stark.
Ich bedanke mich für die Teilnahme und wünsche allen einen schönen Tag.
Gruß
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Hallo Hybris,
was ist bitte die Hessische Normalform?
Diesen Begriff habe ich noch nie gehört?
Was hat das mit Hessen zu tun?
Du meinst die Hessesche Normalform - benannt nach Ludwig Otto Hesse.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Do 13.09.2012 | | Autor: | Hybris |
Okay, sorry :)
Frage 0 also gelöst.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Hybris,
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> was ist bitte die Hessische Normalform?
>
> Diesen Begriff habe ich noch nie gehört?
Hallo schachuzipus,
Du bist mal wieder gar nicht informiert !
Hessische Polizisten können für ihre neuen Opel-Streifenwagen künftig zwischen breiten Normalsitzen oder schmaleren Gesundheitssitzen wählen. Wählen sie die breiten Normalsitze, so spricht man der Hessischen Normalform.
Das ging doch durch die Presse !
http://www.hna.de/nachrichten/hessen/schmal-oder-normal-polizeiautos-kuenftig-zwei-sitzbreiten-2448344.html
Gruß FRED
>
> Was hat das mit Hessen zu tun?
>
> Du meinst die Hessesche Normalform - benannt nach Ludwig
> Otto Hesse.
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Do 13.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Berechnen Sie den Abstand
>
> Hallo Leute. Ich soll und ich kann nach eine Chema "F" den
> Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen. Dazu
> benötige ich z.B. die Hessesche Normalenform. Das ist eine
> gute und in meinen Augen einfache Möglichkeit zu einem
> Ergebnis zu kommen. Um dieses VErfahren weiterhin verwenden
> zu können, brauche ich mehrere Erklärungen. Und zwar
> verstehe ich manche Vorgehen nicht ganz. Ich hoffe das
> macht nichts, wenn ich einen Link mit meiner schriftlichen
> Vorgehensweise hier poste. Es ist privat und dient nur
> dazu, besser meine Schritte und Fragen nachvollziehen zu
> können.
> Hier meine Lösung:
>
> Gegeben sind 3 Punkte im Koordinatensystem. Den Abstand zu
> einem Punkt soll ich berechnen.
>
> http://s1.directupload.net/file/d/3012/46qj6qzg_jpg.htm
>
> Nun meine Fragen dazu:
>
> (1). Rosa markiert: Aufstellen der Hess. Normalenform. Ich
> stelle Formel für den ORTSVEKTOR X auf, welches auf der
> Geraden BC liegt. Ist das richtig? Falls ja, warum gilt
> hier x - c?
Nicht ganz. Der Vektor [mm] \overrightarrow{CX}=\vec{x}-\vec{c} [/mm] steht senkrecht zum Normalenvektor, der Ortsvektor zu einem Punkt X auf der Ebene oder Gerade steht noch nicht senkrecht zum Normalenvektor.
>
> (2). Beim Schritt "NUN EINSETZTEN" muss ich den Vektor n
> bestimmen, da er mir ja nicht gegeben ist. Ansich kein
> Problem aber..... hier habe ich ja n als mein
> Richtungsvektor XA definiert, wieso berechne ich diesen
> jetzt speziel in dieser form aus?
Da hast du etwas falsch interpretiert.
Die Gerade g durch die Punkte B und C kannst du mit
[mm] g:\vec{x}=\vec{b}+\lambda\cdot\overrightatrrow{BC}
[/mm]
bestimmen, mit den konkreten Zahlen:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{-1\\-3}+\lambda\vektor{3\\-3}
[/mm]
Der Ein Normalenvektor (es gibt ja mehrere Normalenvektoren) zu der Gerade ist z.B. [mm] \vektor{3\\3}, [/mm] aber auch [mm] \vektor{1\\1} [/mm] täte es, denn er hat dieselbe Richtung.
Nehmen wir für die Rechnung nun [mm] \vektor{1\\1}, [/mm] dann ist der Normaleneinheitsvektor, und genau den benötigst du ja für deine Hessesche Normalenform:
[mm] \vec{n_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2}}cdot\vektor{1\\1}=\vektor{\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}}
[/mm]
[mm] \sqrt{2} [/mm] ist die Länge des Vektors [mm] \vektor{1\\1}
[/mm]
Also kannst du die Hessesche Normalenform der Geraden g wie folgt schreiben:
[mm] g:\left[\vec{x}-\vec{b}\right]\cdot\vec{n_{0}}=0
[/mm]
Mit den konkreten Werten
[mm] g:\left[\vec{x}-\vektor{-1\\-3}\right]\cdot\vektor{\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}}=0
[/mm]
> Für den Vektor n gilt nun (1/1). Das finde ich allerdings
> niergends auf meiner Skizze und daher verwirrt mich das
> stark.
Dieser ist ein möglicher Normalenvektor der Geraden.
>
> Ich bedanke mich für die Teilnahme und wünsche allen
> einen schönen Tag.
> Gruß
Marius
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Hallo Hybris (ich hoffe dein Name ist nicht Programm ;) ),
im zweidimensionalen gibt es wirklich sehr einfache Lösungsmethoden. Für diese Aufgabe würde ich folgendes empfehlen:
1.) Koordinatenursprung in den Punkt C legen.
2.) Geradengleichung g durch Punkte B und C aufstellen.
3.) Orthogonale o durch Punkt A aufstellen
4.) Schnittpunkt von g und o bestimmen
5.) über Satz des Pythagoras den Abstand bestimmen
Das dauert insgesamt ca. 3 Minuten.
Diese Antwort ist nicht wirklich eine Antwort auf deine Frage. Aber als Alternativlösung möchte ich das hier erwähnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 13.09.2012 | | Autor: | Hybris |
danke, eine wirklich interessante vaiante :)
eine frage aber dazu, wenn ich C in den uhrsprung lege, verändern sich ja auch die A und B Koordinaten. WIe passe ich diese Mathematisch am besten an? Gruß
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Hallo hybris,
einfach nach der Verschiebung schauen.
Auf dem Bild hast du ja eine schöne Skizze angefertigt. Dort könntest du es direkt ablesen.
Möchtest du es exakter argumentieren, dann wie folgt:
Der Punkt C(2,-6) soll zum Koordinatenursprung wandern. Also muss der Punkt C(2,-6) zwei Einheiten nach links und 6 Einheiten nach oben verschoben werden. Also auch die Punkte A und B um diese Einheiten. Somit ergeben sich die neuen Koordinaten.
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