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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Hessesche Normalform
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Hessesche Normalform: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mi 18.01.2006
Autor: schorse

Aufgabe
Gegeben sind die Punkte P1=(1,1,3) P2=(2,1,5) und P3=(5,2,6) einer Ebene. Wie lautet die hessesche Normalenform der Ebenengleichung? Liegt der Punkt P4=(2,1,4) in der Ebene? Wie groß ist ggf. der Abstand von der Ebene?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie geht man vor ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Hessesche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mi 18.01.2006
Autor: Disap


> Gegeben sind die Punkte P1=(1,1,3) P2=(2,1,5) und
> P3=(5,2,6) einer Ebene. Wie lautet die hessesche
> Normalenform der Ebenengleichung? Liegt der Punkt
> P4=(2,1,4) in der Ebene? Wie groß ist ggf. der Abstand von
> der Ebene?
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo schorse. [willkommenmr] - Auch wir hier freuen uns über eine kurze Begrüzung.

>  Wie geht man vor ???

Als erstes solltest du mal die Forenregeln lesen: besonders das hier: Loesungsansaetze

Naja, trotzdem sage ich dir mal, wie man das machen KANN

I. Drei Punkte, du bastelst daraus die Parameterform.
II. Du bildest den Normelenvektor der Ebene bzw. das Kreuzprodukt der beiden Richtungs-/Spannvektoren.
III. Du bildest die Normalenform (immerhin hast du schon den Normalenvektor!)
IV. Du machst die Punktprobe. Du setzt den Punkt [mm] P_4 [/mm] in die Normalenform ein.

Zufrieden gestellt? Ansonsten noch mal nachfragen.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

mfG!
Disap
Bezug
        
Bezug
Hessesche Normalform: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Do 19.01.2006
Autor: schorse

Guten Morgen ihr Mathegenies!
So ganz komme ich noch nicht weiter

Ich habe die Parameterdarstellung laut Formelsammlung  wie folgt aufgestellt:

[mm] \vec{x}= [/mm] p1+r(p2-p1)+s(p3-p1)     p1-p3 sollen Vektoren darstellen
Lösung:
[mm] \vec{x} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 1\\3}+r \vektor{1 \\ 0\\2}+s \vektor{4 \\ 1\\3} [/mm]
Der Normalenvektor:
[mm] \vec{n} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 0\\2} [/mm] X [mm] \vektor{4 \\ 1\\3} [/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -3\\1} [/mm]

Hieraus soll ich die Hessesche Normakenform bilden.
Hierfür fehlt mir jeglicher Ansatz
Bezug
                
Bezug
Hessesche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Do 19.01.2006
Autor: Disap


> Guten Morgen ihr Mathegenies!

Hallo. Aber nicht alle, die hier schreiben, sind Genies ;-). Ich bin jedenfalls keins [mm] :\ [/mm]
>  So ganz komme ich noch nicht weiter
>  
> Ich habe die Parameterdarstellung laut Formelsammlung  wie
> folgt aufgestellt:
>  
> [mm]\vec{x}=[/mm] p1+r(p2-p1)+s(p3-p1)     p1-p3 sollen Vektoren
> darstellen

[ok]

>  Lösung:
>  [mm]\vec{x}[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ 1\\3}+r \vektor{1 \\ 0\\2}+s \vektor{4 \\ 1\\3}[/mm]
>  
> Der Normalenvektor:
>  [mm]\vec{n}[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ 0\\2}[/mm] X [mm]\vektor{4 \\ 1\\3}[/mm]
>  
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -3\\1}[/mm]

[notok]
Hier habe ich einen anderen [mm] \vec{n} [/mm]

[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0\\2} [/mm] X [mm] \vektor{4 \\ 1\\3} [/mm]

[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0*3-2*1 \\ 2*4-1*3 \\ 1*1-0*4} [/mm]

[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 8-3 \\ 1} [/mm]

[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 5 \\ 1} [/mm]

> Hieraus soll ich die Hessesche Normakenform bilden.
>  Hierfür fehlt mir jeglicher Ansatz

Wieso hast'e nicht weiter in die Formelsammlung geguckt?

Die Hessesche Normalenform sieht folgendermassen aus:

d = [mm] |(\vec{r}- \vec{p})* \vec{n_0}| [/mm]

[mm] (\vec{r} [/mm] ist in diesem Fall der Ortsvektor der Ebene!. [mm] \vec{p} [/mm] ist unser Punkt [mm] P_4, [/mm] genauer genommen der Vektor  [mm] \overrightarrow{0P_4}. [/mm] Nur der Vektor [mm] n_0 [/mm] ist etwas heikel. Es ist der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht).

[mm] \vec{n_0}= \bruch{1}{|\vec{n}|}*\vec{n}. [/mm]

Achja, das übersah ich, ist der Abstand = 0, so liegt der Punkt natürlich in der Ebene!

Kommst du nun alleine weiter?

mfG!
Disap
Bezug
                        
Bezug
Hessesche Normalform: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Do 19.01.2006
Autor: schorse

Hey und danke!
Ja super..jetzt paßt es. Bist wohl doch ein Mathegenie oder ich einfach zu doof.Lach.
Den Normalenvektor habe ich auch raus bekommen. Habe mich unglücklicherweise vertippt.
Trotzdem danke.
Wenn du wüsstest wie lange ich mich damit aufgehalten habe.

Bezug
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