Hessesche Normalform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (1) x+2y+2z=9
(2) A(3|2|1) ; B(-1|-1|4) ; C(-5|0|-5)
(3) P (-6|10|16) steht senkrecht auf [mm] g:\vec{x}=\vektor{6 \\ 4 \\ 0}+r*\vektor{-8 \\ 4 \\ 8} [/mm] |
Dazu sollen wir jeweils die Hessesche Normalform bilden. Ich war in der Stunde nicht da und ich habe überhaupt keine Ahnung, wie das gehen soll. Kann jemand mir bei dem ersten Beispiel schrittweise helfen??
Danke
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Hallo Shabi-nami,
> (1) x+2y+2z=9
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> (2) A(3|2|1) ; B(-1|-1|4) ; C(-5|0|-5)
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> (3) P (-6|10|16) steht senkrecht auf [mm]g:\vec{x}=\vektor{6 \\ 4 \\ 0}+r*\vektor{-8 \\ 4 \\ 8}[/mm]
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> Dazu sollen wir jeweils die Hessesche Normalform bilden.
> Ich war in der Stunde nicht da und ich habe überhaupt keine
> Ahnung, wie das gehen soll. Kann jemand mir bei dem ersten
> Beispiel schrittweise helfen??
Bei der Hesseschen Normalform einer Ebenengleichung wird der normierter Normalenvektor, also ein Vektor vom Betrage 1 verwendet.
Hier ist der Normalenvektor [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
Der Betrag hiervon: [mm] \wurzel{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=3
[/mm]
Somit lautet die Hessesche Normalform:
[mm]\bruch{x+2*y+2*z}{3}=3[/mm]
> Danke
Gruß
MathePower
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Wie kommt man auf den letzten Teil?
Somit lautet die Hessesche Normalform:
[mm]\bruch{x+2*y+2*z}{3}=3[/mm]
Den Anfang kann ich nachvollziehen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Di 11.11.2008 | | Autor: | moody |
Durch einsetzen in:
[mm]c = \vec{x_{0}} \bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|}[/mm]
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Das verstehe ich immer noch nicht so ganz...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 11.11.2008 | | Autor: | moody |
Sorry meine erste Antwort war nicht sonderlich hilfreich.
Ich versuchs mal etwas detaillierter zu erklären:
Wie MathePower bereits gesagt hat:
"Bei der Hesseschen Normalform einer Ebenengleichung wird der normierter Normalenvektor, also ein Vektor vom Betrage 1 verwendet. "
Der Normalenvektor ist [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Der Betrag war 3.
So um das nun in die HNF zu schreiben überlegst du dir wie du den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] auf die Länge 1 bekommst.
Nämlich so: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
In der Koordinatenform wäre dies:
x + 2y + 2z = 3
In der HNF in Koordinatenschreibweise dann:
[mm] \bruch{x + 2y + 2z}{3} [/mm] = 0
Durch 3 wegen dem Vektor mit der Länge 1.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:55 Di 11.11.2008 | | Autor: | Shabi_nami |
Aber MathePower sagte doch, dass die Hessesche Normalenform
[mm]\bruch{x + 2y + 2z}{3}[/mm] = 3 sei
und du sagst =0
Und wie kommt man dazu, die 1/3 mit in die Ebene einzumultiplizieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 11.11.2008 | | Autor: | moody |
Wie MathePower auf die 3 kommt weiß ich auch nicht, aber ich will nicht ausschließen, dass ich mich mit den 0 irre.
* 1/3 weil der Vektor ja die Länge 1 haben soll und nicht 3.
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