Hilberts Hotel < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Di 20.02.2007 | | Autor: | Mathmark |
Servus Leute !!!
Mich beschäftigt seit kurzem die Problematik des Hilbert'schen Hotels:
Das Hotel hat unendlich viele Zimmer, die voll belegt sind.
Es erreicht ein Reisebus mit unendlich vielen Sitzplätzen das Hotel, welche natürlich auch voll belegt sind.
Nun können aber trotzdem alle Passagiere Platz finden, denn jeder Bewohner des Hotels zieht in ein Zimmer mit ungerader Zimmernummer, so dass alle Zimmer mit gerader Zimmernummer frei werden.
Damit finden dann auch die Passagiere Platz.
Es handelt sich hier um das Problem der Unendlichkeit und der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen.
Nun gilt ja, dass die Menge der ungeraden Zahlen die gleiche Mächtigkeit besitzt, wie die der geraden Zahlen bzw. der gesamten natürlichen Zahlen.
$Definition:$
Sei [mm] $A\subset\IN$ [/mm] eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen.
Definiere [mm] $|A|:=\{$Anzahl der Elemente der Menge $A\}$
[/mm]
Dann gilt, falls $A$ echte Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] ist: [mm] $|A|<|\IN|$.
[/mm]
$Definition:$
Es sei $X$ eine beliebige Menge, dann ist
[mm] $\mathcal{P}(X):=\{$Menge aller Teilmengen von $ X\}$
[/mm]
die Potenzmenge von $X$.
$Definition:$
Sei
[mm] $\mathcal{Z}_{\mathcal{P}(\IN)}^k:=\{A\in\mathcal{P}(\IN)$ : $|A|=k\}$
[/mm]
die Menge aller der Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] die dieselbe Anzahl an Elementen enthalten.
Die leere Menge wird hier nicht benutzt.
Beispiel:
Seien [mm] $A,B\in\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] mit $|A|=|B|=4$ aber [mm] $A\not=B$.
[/mm]
Dann sind [mm] $A,B\in \mathcal{Z}_{\mathcal{P}(\IN)}^4$
[/mm]
Es gilt offensichtlich:
(a) [mm] $|\mathcal{Z}_{\mathcal{P}(\IN)}^1|=|\IN|$
[/mm]
(b) [mm] $|\mathcal{Z}_{\mathcal{P}(\IN)}^{|\IN|}|=1$
[/mm]
Es folgt die Behauptung:
Sei [mm] $A\in\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] mit [mm] $|A|<|\IN|$.Dann [/mm] gibt es ein [mm] $k\in\IN$, [/mm] so dass $|A|=k$ und [mm] $|\mathcal{Z}_{\mathcal{P}(\IN)}^k|=2$.
[/mm]
Frage: Wie groß ist dieses $k$ ?
Dieses Problem könnter man anschaulich so verstehen:
Würden in dem Hotel unendlich viele Personen wohnen und ich würde die Person herauswerfen, die in Zimmer eins wohnt, so wären zwar immer noch unendlich viele Personen im Hotel, aber einer würde fehlen und die "Menge" wäre somit "kleiner".
Wieviel Personen müsste ich rauswerfen, damit nicht mehr unendlich viele darin sind ?
Gruß Mathmark
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>
> [mm]Definition:[/mm]
> Sei [mm]A\subset\IN[/mm] eine echte Teilmenge der natürlichen
> Zahlen.
> Definiere [mm]|A|:=\{[/mm]Anzahl der Elemente der Menge [mm]A\}[/mm]
>
> Dann gilt, falls [mm]A[/mm] echte Teilmenge von [mm]\IN[/mm] ist:
> [mm]|A|<|\IN|[/mm].
Hallo,
das stimmt so nicht. Die geraden Zahlen sind eine echte Teilmenge der natürlichen, aber genauso mächtig. (Bijektion auf die natürlichen Zahlen möglich).
>
> (b) [mm]|\mathcal{Z}_{\mathcal{P}(\IN)}^{|\IN|}|=1[/mm]
Und deshalb stimmt das auch nicht. Deine Menge [mm] \mathcal{Z}_{\mathcal{P}(\IN)}^{|\IN|} [/mm] ist sehr groß. Sie enthält u.a. (!) die Menge der Vielfachen von 2,von 3, von 4 usw.
> Würden in dem Hotel unendlich viele Personen wohnen und ich
> würde die Person herauswerfen, die in Zimmer eins wohnt, so
> wären zwar immer noch unendlich viele Personen im Hotel,
> aber einer würde fehlen und die "Menge" wäre somit
> "kleiner".
> Wieviel Personen müsste ich rauswerfen, damit nicht mehr
> unendlich viele darin sind ?
Deine Gäste werden nicht erfreut sein: Du mußt alle rauswerfen - bis auf endlich viele.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Angela !!!
Vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Das es unendlich viele bijektive Abbildungen zu [mm] $\IN$ [/mm] gibt, ist mir schon klar.
Wann ist denn eine Menge kleiner als eine andere ?
Falls $|X|<|Y|$, oder ?
Betrachtet man [mm] $\IN\backslash\{1\}$, [/mm] dann ist [mm] $\IN\backslash\{1\}\subset\IN$, [/mm] aber aufgrund der gleichen Mächtigkeit der Mengen, gilt also [mm] $|\IN\backslash\{1\}|=|\IN|$.
[/mm]
Es müsste doch aber ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] existieren, so dass
[mm] $|\IN\backslash\{1,2,3,...,k\}|<|\IN|$ [/mm] ?
$Definition$:
Sei [mm] $A\in\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] mit [mm] $|A|=|\IN|$, [/mm] dann ist für [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] [center]$\mathcal{X}_{A}^n:=\{x\in A: x\le n\}$[/center]
[/mm]
die Teilmenge von $A$, die alle Elemente von $A$ enthält, die kleinergleich $n$ sind.
Aus der Definition folgt zunächst:
Seien [mm] $A=\{2k\}_{k\in\IN}$, $B=\{k^2\}_{k\in\IN}$ [/mm] gegeben.
Es gilt für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] $n>2$:
[mm] [center]$|\mathcal{X}_{B}^n|\le|\mathcal{X}_{A}^n|<|\mathcal{X}_{\IN}^n|$[/center] [/mm]
Das würde heißen, dass die Mengen ja nur dann gleichmächtig sind, wenn $n$ gegen unendlich geht.
Konstruiert man nun eine Zahlenfolge:
[mm] [center]$a_n=|\mathcal{X}_{\IN}^n|-|\mathcal{X}_{B}^n|$[/center]
[/mm]
dann gilt:
[mm] $a_1=0$
[/mm]
[mm] $a_2=1$
[/mm]
[mm] $a_3=2$
[/mm]
[mm] $a_4=2$
[/mm]
[mm] $a_5=3$
[/mm]
.
.
.
[mm] $a_{100}=90$
[/mm]
Offensichtlich ist die Folge monoton wachsend, d.h. [mm] $a_n\le a_{n+1}$ [/mm] .
Aber da ja $B$ und [mm] $\IN$ [/mm] gleichmächtig sind, folgt also
[mm] [center]$\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0$[/center]
[/mm]
was doch der Monotonie widerspricht, oder ?
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> Betrachtet man [mm]\IN\backslash\{1\}[/mm], dann ist
> [mm]\IN\backslash\{1\}\subset\IN[/mm], aber aufgrund der gleichen
> Mächtigkeit der Mengen, gilt also
> [mm]|\IN\backslash\{1\}|=|\IN|[/mm].
> Es müsste doch aber ein [mm]k\in\IN[/mm] existieren, so dass
> [mm]|\IN\backslash\{1,2,3,...,k\}|<|\IN|[/mm] ?
Nein, es gibt keins!
Angenommen, Du hast so eines gefunden, nennen wir N.
[mm] \IN\backslash\{1,2,3,...,k\}=\IN_N=\{N+1, N+2, N+3,...\}
[/mm]
Nun definiere ich eine Abbildung [mm] b:\IN_N [/mm] --> [mm] \IN [/mm] durch
b(N+n):=n für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Diese Abbildung ist bijektiv, also sind [mm] \IN_N [/mm] und [mm] \IN [/mm] gleichmächtig.
Schauen wir uns die Sache in Hilberts Hotel an:
Du, der Chef, forderst die Bewohner der Zimmer 1 - N auf, unverzüglich das Hotel zu verlassen.
Noch während Du dem Auszug verblüfft zuschaust und Dich freust, daß sie Dir wider Erwarten Folge leisten, mache ich - die Köchin - in dem Hotel ordentlich Stimmung gegen Dich und veranlasse die verbliebenen Bewohner, schnell das Zimmer zu beziehen, welches eine um N kleinere Zimmernummer hat.
Wenn Du Dich umdrehst, wirst Du staunen: alle Zimmer sind wieder belegt, ohne daß ein neuer Gast das Hotel betreten hat. Dein verblüfftes Gesicht wird mir Freude bereiten...
Du kannst mich, die Köchin, nur austricksen, wenn Du soviele Gäste herauswirfst, daß nur noch endlich viele im Hotel sind. In diesem Fall nützen mir Rhetorik und gute Argumente nichts, egal, wie die Gäste Zimmer belegen, Du wirst auf jeden Fall unendlich viele (genauer: abzählbar viele) Zimmer frei haben.
[...]
> Offensichtlich ist die Folge monoton wachsend, d.h. [mm]a_n\le a_{n+1}[/mm]
> .
> Aber da ja [mm]B[/mm] und [mm]\IN[/mm] gleichmächtig sind, folgt also
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
> was doch der Monotonie widerspricht, oder ?
Ich kann Deine Gedanken natürlich hervorragend nachvollziehen...
Aber es funktioniert so nicht, weil [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] nicht erklärt ist. Keinesfalls kommt per se 0 heraus, denn wir rechnen hier nicht mit reellen Zahlen!
Ein ähnliches Problem hat man ja bei Grenzwertbetrachtungen oft. Da in Deinem Prifil steht, daß Du Mathestudent im Grundstudium bist, wirst Du ja sicher auch die vielen, viele Aufgaben mit Grenzwerten von Folgen, bei denen man [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] hat, wenn nicht lieben, dann doch erinnern.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:58 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Angela.....
du stimmts mir doch zu dass
[mm] $|\mathcal{P}(\IN)|=|\IR|$
[/mm]
oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Fr 23.02.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit allerseits!
> Hallo Angela.....
>
> du stimmts mir doch zu dass
> [mm]|\mathcal{P}(\IN)|=|\IR|[/mm]
> oder ?
Das ist gerade die ![[]](/images/popup.gif) Kontinuumshypothese, also ganz schwieriges Gelände.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hallo Angela.....
>
> du stimmts mir doch zu dass
> [mm]|\mathcal{P}(\IN)|=|\IR|[/mm]
> oder ?
Hallo,
ich fürchte, Du willst mich auf brüchiges Eis führen! Da bleib' ich aber stehen wie ein Esel.
Die Angelegenheit wird nun so heikel, daß es mir geraten scheint, ohne Anwalt gar nichts mehr zu sagen... (s. Dieters Hinweis auf die Kontinuumshypothese)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hallo erstmal !!!
Verstehe die "Angst" jetzt ja nun garnicht.
Bezüglich der Mächtigkeit der reellen Zahlen und der der Potenzmenge von [mm] $\IN$ [/mm] siehe hier:
Mächtigkeit von Mengen
Die Kontinuumshypothese besagt doch, dass es keine Mächtigkeit zwischen der der natürlichen Zahlen und der der reellen Zahlen gibt.
Folglich muss, da [mm] $|\mathcal{P}(\IN)|>|\IN|$ [/mm] gilt
[mm] $|\mathcal{P}(\IN)|=|\IR|$.
[/mm]
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> Die Kontinuumshypothese besagt doch, dass es keine
> Mächtigkeit zwischen der der natürlichen Zahlen und der der
> reellen Zahlen gibt.
> Folglich muss, da [mm]|\mathcal{P}(\IN)|>|\IN|[/mm] gilt
> [mm]|\mathcal{P}(\IN)|=|\IR|[/mm].
Das Problem:
es ist eine Hypothese,
und es ist gezeigt, daß sowohl diese Hypothese als auch ihre Negation verträglich mit "der Mengenlehre" sind.
Keinesfalls folgt eine der beiden Aussagen aus dem Axiomensystem der Mengenlehre.
Man kann sich nun hinstellen und sagen: unter der Voraussetzung, daß sie gilt, folgt... Und man hat recht, sofern man richtig folgert.
Der nächste kommt daher: unter der Voraussetzung, daß sie nicht gilt, folgt... Er hat genauso recht.
Meine Kenntnisse sind allerdings zu gering, um sehr tief in die Materie einzusteigen.
Gruß v. Angela
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